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Y a t il equivalence ?

Posté par
molp 17-09-06 à 10:05

bonjour à tous,
J'aimerai savoir si l'inégalité n!/(n^k.(n-k)!.k!) 1/(2^(k-1)) est équivalente à (n!/(n^k.(n-k)!.k!),k,1,n)= (1/(2^(k-1)),k,1,n)
et si oui comment démontrer que (1/(2^(k-1)),k,1,n) 3 ? je n'y arrive vraiment pas. Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Posté par
theprogrammeurre : Y a t il equivalence ? 17-09-06 à 14:42

Bonjour molp,
Pour faciliter la lecture ta question j'ai retranscrit ton énoncé: \frac{n!}{n^k(n-k)!k!}\quad\leq\quad\frac{1}{2^{k-1}}\qquad\Longleftrightarrow\qquad\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{n!}{n^k(n-k)!k!}\quad\leq \quad\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}

En ce qui concerne l'équivalence en as tu véritablement besoin? Dans la mesure où pour répondre a la question il te suffit de l'implication: \frac{n!}{n^k(n-k)!k!}\quad\leq\quad\frac{1}{2^{k-1}}\qquad\Longrightarrow\qquad\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{n!}{n^k(n-k)!k!}\quad\leq \quad\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} qui est évidente à démontrer, ce qui est déjà moins le cas pour l'implication inverse.

Pour la seconde partie il faut remarquer que tu fait une sommation sur une suite géométrique de raison \frac{1}{2}, je te laisse conclure.

Bonne continuation

Posté par
molpre : Y a t il equivalence ? 17-09-06 à 16:10

okay donc je trouve que (1/(2^(k-1)),k,1,n) = 2 - 1/(2^(n-1)), cette suite est decroissante (evident), elle est donc majorée par son premier terme u(1)=2 - 1 3 donc y a un problème et je vois pas où.
En ce qui concerne l'implication je vois pas ce qu'il y a à démontrer, elle me parait couler de source.


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