... théorème des fonctions implicites ?

bonjour stokastik

Peux-tu développer un peu plus, s'il te plait ?

Philoux

Autre question plus générale :

Ce type d'équation fait-il partie d'un ensemble d'équations plus générales pour lesquelles il existe une méthode de résolution adéquate ?

Avez-vous le nom de cette caractérisation ? des liens à fournir ?

Merci

Philoux

Peux-tu développer un peu plus, s'il te plait ?

Ce serait avec plaisir si j'avais le temps (ça me ferait des révisions) mais je suis débordé, sorry. D'ailleurs c'est juste une proposition, je ne sais pas si le théorème des fonctions implicites donne quelque chose pour cette équation.

à+

Salut,


Sans autres hypothèses f n'est pas définie vu que si x est solution x + 2*k*pi est aussi solution. x = 0 pose aussi certains problèmes

Sinon, si je me suis pas gouré, x + 2kpi et 2kpi sont les solutions de l'équation.

Bonjour tutu

Dans mon esprit ce n'était pas une équation mais une façon non explicite de relier y à x

Si je ne me suis pas trompé, en me limitant aux intervalles d'amplitude 2pi, j'obtiens ceci...

Philoux

Bonjour,

Le changement de variables
Y+X = U
Y-X = V
permet de séparer les variables et de rendre le problème plus simple dans le nouveau repère. En effet :
sin(y) - sin(x) = 2.cos((y+x)/2).sin((y-x)/2)
Donc l'équation devient dans le repère U,V :
sin(V) = 2.cos(U/2).sin(V/2)
Mais sin(V) = 2.sin(V/2)cos(V/2)
Donc l'équation devient :
2.sin(V/2)cos(V/2) = 2.cos(U/2).sin(V/2)
Soit
sin(V/2).(cos(V/2)-cos(U/2)) = 0
D'où deux ensembles de solution :
sin(V/2) = 0 d'oùu V/2 = k.PI d'où V = 2.k.PI d'où Y-X = 2.K.PI
cos(V/2)-cos(U/2) = 0 que je vous laisse le plaisir de discuter...

Merci LeHibou et joli changement de variable !

En effet, on retrouve (plus élégamment) mes soluces, à savoir :

y=0
x=0
y=x+2kpi (k € Z)

Philoux

il est très facile, avec sin(y-x)=sin(y)cos(x)-sin(x)cos(y)
de démontrer que toutes les fonctions des formes suivantes :
y(x) = x + 2k.pi     (k entier relatif)
ou y(x) = -x +2k.pi
satisfont la relation sin(y-x) = sin(y) - sin(x)
ainsi que toutes les fonctions de la forme x(y)=2k*pi (droites verticales)
La relation sin(y-x) = sin(y) - sin(x)  n'établi donc pas une relation bi-univoque entre y et x. ( On peut dire qu'elle défini une fonction multiforme, comme les fonctions sinusoidales inverses si on ne restreignait pas conventionnellement leur définition à leur détermination principale).

J'ai pris trop tard le train en marche.
Mais il vous manque encore la famille de fonctions y = -x+2k.pi
Ainsi que la famille des droites verticales x=2k.pi

Bonjour

D'accord avec toi, JJa, sur les autres droites verticales (périodicité 2pi)

en revanche sur y=-x+2kpi ?

si k=0 et x=pi/2 et y=-pi/2 ne vérifie pas sin(y-x)=siny-sinx ?

Me trompes-je ?

Philoux

Et pan sur le bec! (le mien)
En effet, il y avait un os dans mon calcul.
Le bon coté de la chose est que cela m'a permis de voir que cette erreur m'avait fait perdre d'autres solutions :
La famille de fonctions y(x)=2k.pi , droites horizontales, convient aussi (sauf erreur, par principe de précaution...)

à bec, bec et demi (le demi panaché c'est pour moi)

En plus, je dis dès le début le caractère 2pi-périodique sur x et y ...

Alors, cette fois-ci, ce devrait être la bonne :

Philoux

Le théorème des fonctions implicites appliqué avec la fonction f(x,y)=sin(y-x)-sin(y)+sin(x) avec les notations de te donne des renseignements sur la dérivée de la fonction qui à x associe y tel que l'équation est vérifiée.

Merci stokastik pour ce lien

Philoux

mais ici, ce n'est pas une fonction de x et y que je recherchais (à moins de chercher les x,y tels que f(x,y)=0)

Philoux

J'ai compris. Tu cherches une fonction telle que f(x,(x))=0.

Le théorème des fonctions implicites garantit l'existence d'une telle fonction sous certaines conditions et te donne la dérivée de [smb]phi[smb].

... de .