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Z puissance 4

Posté par
Kool59
03-11-09 à 14:25

Voici le début d'un exo,

Je bloque sur le début, donc je mets pas tout l'exo, peut être je vais arriver à faire le reste mais pouvez vous m'aider à le commencer:

1/Ecrire z^4-1 sous la forme d'un produit de quatre polynômes de degré 1 en z.
En deduire la résolution de z^4=1

2/Utiliser la question 1 pour résoudre dans C l'équation
((z-i)/(z+1))^4=1

Merci d'avance :=)

Posté par
veleda
re : Z puissance 4 03-11-09 à 14:51

bonjour,
1)
z^4-1=(z^2-1)(z^2+1)
z^2-1=(z+1)(z-1)
z^2+1=z^2-i^2)=(z+i)(z-i)
tu en déduis la factorisation demandée pour z^4-1et les solutions de z^4=1
2)tu poses Z=\frac{z-i}{z+1}...

Posté par
Kool59
re : Z puissance 4 03-11-09 à 14:58

z^4 -1 = (z-1)(z+1)(z-i)(z+1)

z^4=0
z^4-1=0
Un produit de facteur est nul SSI l'un au moins des facteurs est nul.
Je trouve -1, 1, mais apres pour z²=-1 je sais pas comment faire ....

Posté par
veleda
re : Z puissance 4 03-11-09 à 15:02

z^2+1=0<=>(z-i)(z-i)=0=>z=i,z=-i

Posté par
Kool59
re : Z puissance 4 03-11-09 à 15:08

Donc l'équation a 4 solutions??

Si je comprend je doit donc résoudre Z^4 = 1 si je pose Z= (z-i)/(z+1)?

Posté par
veleda
re : Z puissance 4 03-11-09 à 17:19

tu as donc Z^4=1=>Z_1=1,Z_2=-1,Z_3=i,Z_4=-i
ensuite tu dois résoudre les équations
\frac{z-i}{z+1}=Z_k pour k=1,2,3,4

Posté par
veleda
re : Z puissance 4 03-11-09 à 17:27

dans mon post de 15h02 il fallait lire (z-i)(z+i) je pense que tu as compris

Posté par
Kool59
re : Z puissance 4 03-11-09 à 17:28

Effectivement j'avais compris Merci

Je vais essayé de résoudre tout ça et je dirais ce que j'en resort

Posté par
Kool59
re : Z puissance 4 06-11-09 à 15:39

J'ai trouver pour Z=1, impossible
Z=-1, z= (i-1)/2

Mais avec Z=i et Z=-i je n'y arrive pas ...

Posté par
veleda
re : Z puissance 4 06-11-09 à 15:58

bonjour,
on a z(1-Z_k)=Z_k-i
donc
si Z_k1=>z=\frac{Z_k+i}{Z_k-1}
*Z_k=-1=>z\frac{i-1}{2}c'est bien ce que tu as trouvé
*Z_k=i=>z=\frac{2i}{1-i}=2i\frac{1+i}{2}={i-1}
*Z_k=-i=>z=0
sauf erreur de calcul

Posté par
Kool59
re : Z puissance 4 07-11-09 à 12:59

Bonjour,

Merci pour la réponse

La question suivante de l'éxo c'est ça:

Montrer que pour tout complexe différent de 1:

(z^4 - 1) / (z - 1) = z^3 + z² + z + 1

Je pourrais avoir une piste de recherche??
Merci

Posté par
Kool59
re : Z puissance 4 07-11-09 à 14:37

Petit up (A)

Posté par
veleda
re : Z puissance 4 07-11-09 à 14:48

bonjour,
z^4-1=(z^2-1)(z^2+1)=(z-1)(z+1)(z^2-1)=(z-1)(z^3+z^+z+1
si z1tu divise par(z-1)

Posté par
Kool59
re : Z puissance 4 07-11-09 à 14:50

Pourquoi vous commencez sans le dénominateur?

Posté par
veleda
re : Z puissance 4 07-11-09 à 14:55

quelque soit z on peut ecrire  z^4-1=(z-1)(z^3+z^2+z+1) il y a une petite faute de frappe dans mon précédent post

Posté par
Kool59
re : Z puissance 4 07-11-09 à 14:59

Désolé mais je comprend pas du tout cette question, c'est ce que je dois démontrer donc je peux pas dès le début l'affirmé ...

Posté par
veleda
re : Z puissance 4 07-11-09 à 15:03

l'égalité que j'ai écrite est valable pour tout complexe z
*si z1 on peut diviser les deux membres par (z-1) et l'on obtient l'égalité demandée  c'est tout

Posté par
Kool59
re : Z puissance 4 07-11-09 à 15:05

Vous voulez dire multiplier non?

Posté par
veleda
re : Z puissance 4 07-11-09 à 15:10

non tu divises l'égalité que j'ai écrite cela donne
\frac{z^4-1}{z-1}=\frac{(z-1)(z^3+z^2+z+1}){z-1}et tu simplifies à droite parz-1

Posté par
veleda
re : Z puissance 4 07-11-09 à 15:12

il y a un décalage\frac{(z-1)(z^3+z^2+z+1)}{z-1}
c'est bon

Posté par
Kool59
re : Z puissance 4 07-11-09 à 15:19

Je vais essayé de bien rédiger ça sur ma copie, je vous dis si je m'en sort

Posté par
veleda
re : Z puissance 4 07-11-09 à 15:20

bon courage

Posté par
Kool59
re : Z puissance 4 07-11-09 à 15:31

Merci, en relisant les anciens question, j'ai compris

La derniere question, je croit l'avoir comprise:

En déduire les solutions, dans C de l'équation:
(z-i)(z+1)^3 + (z-i)(z+1)^2 + (z-i)(z+1) + 1

Si on prend Z=(z-i)(z+1), on revient à la question précédente.

Il faut donc calculer ((z^4 - 1)/(z+1)) = 0

C'est cela?

Posté par
veleda
re : Z puissance 4 07-11-09 à 15:45

c'est (Z-1) au dénominateur
sinon c'est cela



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