Si la fonction est dérivable, un zéro simple est une valeur x telle que f(x)=0 mais f'(x)0.

>Victor

Sans parler de dérivée, peut-on dire que la valeur x=0 n'annule f(x) qu'une seule fois ?

par exemple f(x)=(x-1)x² a pour zéro x=1 qui est(serait ?) un zéro simple et x=0 qui est(serait ?) un zéro double.

Sont-ce des formulations équivalentes ?

Philoux

Cela n'a pas beaucoup de sens de dire qu'elle annule f une seule fois même si cela peut se comprendre dans le cas que tu as cité.

Autrement dit la compréhension de "zéro simple"/"zéro multiple" nécessite la connaissance des dérivées ?

Philoux

soit f une fonction, dire  que a est racine simple est équivalent à dire que f(a)=0 et f'(a) different de zéro.dire  que a est racine double est équivalent à dire que f(a)=0 et f'(a)= 0 et f"(a) est different de 0.Est ce correctement interpreté?

A condition que la fonction soit dérivable pour la racine simple ou encore deux fois dérivable pour la racine double...
Mais sinon, cela est correct.

ok, merci

En général on parle d'ordre de multiplicité d'une racine lorsque l'on a une fonction dérivable au sens complexe.
Je ne pense pas que ca ai vraiment du sens sinon (on peut le définir, mais pourquoi faire?).
L'idée est simple:
0 est une racine simple d'un polynôme P si on peut factoriser P par (x-0) et pas par (x-0)^2.
Evidemment on fait de même pour une racine d'ordre n.

Finalement on reconnait ici l'idée de philoux, et qui est encore exprimable par la définition de Victor.

Lorsque l'on a plus un polynôme, mais une fonction dérivable au sens complexe, les deux notions sont encore équivalentes en ce sens que si f est une fonction dérivable au sens complexe, f possède un 0 a d'ordre n si
il existe g dérivable autour de a tel que f(x)=g(x)(x-a)^n mais qu'il n'existe aucune fonction h dérivable autour de a telle que f(x)=h(x)(x-a)^(n+1).

Les deux notions sont donc les mêmes si on est dans l'ensemble des fonctions dérivables au sens complexe.
Si on faisait la même chose avec les fonctions dérivable au sens réel, alors on aurait que la définition de philoux entraine celle de victor, mais on aurait pas la réciproque.
(exemple: f(x)=exp(-1/x^2) prolongée en 0 par f(0)=0)
En fait ces définitions n'auraient pas tellement d'intéret.
Voilà pour ce petit a parte technique.
A+

Merci otto pour cette précision.

Merci otto

Je posais simplement la question si, en parlant de zéro simple ou double (cas d'un trinôme avec delta=0) à un élève n'ayant pas encore vu les dérivées, je ne risquais pas de l'induire en erreur...

Philoux

La vrai définition formelle est celle de Victor, mais finalement comme c'est équivalent à ce que tu dis, elle ne fait que traduire le phénomène que tu exprimes. C'est exactement ainsi que je l'explique aux étudiants que j'ai d'ailleurs, donc j'espère que c'est une bonne méthode
A+