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Zéros "isolés"
Bonjour,
une petite question de vocabulaire :
J'ai une fonction f définie sur R, qui s'annule une infinité de fois (un truc du genre une somme de 2 fonctions trigo)
On me demande de vérifier que les zéros sont "isolés". Et dans cette question, il est demandé de montrer que la fonction et ses dérivées successives ne s'annulent pas simultanément.
Des zéros "isolés", c'est quoi ?? 
Bonjour jamo
Un zéro a est isolé s'il existe un intervalle ouvert autour de a où f ne s'annule pas.
Le contrexemple type: 0 n'est pas un zéro isolé pour f(x)=xsin(1/x)
Bonjour Camelia, merci pour la réponse.
mais pour une fonction du genre : f(x) = cos(ax) + cos(bx), les zéros sont forcement isolés ?
Pour qu'ils ne le soient pas, il faudrait que la fonction soit égale à 0 sur un intervalle de largeur non-nulle, non ?
C'est vrai pour cette fonction. La meilleure manière de le démontrer est d'utiliser les fonctions holomorphes. Par ailleurs un zéro peut ne pas être isolé sans que la fonction soit nulle sur un intervalle autour, comme mon exemple le montre.
Ok.
En fait, c'était le mot "isolé" qui m'embetait, je ne me souvenais pas de l'avoir déjà vu ...
Maintenant, je vais peut-etre pouvoir comprendre la correction de la question ! 
En fait c'est général. Un point d'une partie est "isolé" s'il existe un ouvert contenant ce point et aucun autre point de la partie. Les entiers sont isolés dans R, mais pas les rationnels.
Ok, merci.
La question vient d'un sujet de Capes. C'est une des questions "tordue" et "isolée" comme il y en a toujours dans ce genre de sujets ...
Le plus délicat dans ces concours, c'est de détécter ces questions parfois infaisables par le commun des mortels pour ne pas perdre du temps !
Oui, en même temps c'est pas du tout tordu et c'est même super classique.
Ta fonction est développables en série entières sur tout compact de R, donc ne peut pas avoir des 0 non isolés (sinon elle serait identiquement nulle).
Oui, c'est super-classique quand on connait, c'est comme tout ...
Pour un élève de 2nde, c'est classique de mutliplier 2 racines carrées, un peu moins pour un élève de 6ème !
En fait les fonctions analytiques ont leurs zéros isolés, c'est l'une des caractéristiques qui les différencie des fonctions qui ne sont "que" C infini.
Ces fonctions sont vraiment "rigides" en ce sens que tu peux faire "faire n'importe quoi" à des fonctions C infinies , comme le suggère une version améliorée du lemme d'Urysohn, mais tu ne peux pas vraiment fixer trop de contraintes sur les fonctions analytiques.
Ca permet aussi d'avoir des théorèmes du style "principe d'identité".
Ici tes fonctions sont clairement analytique (par définition du cosinus).
a+
ps: une fonction analytique est une fonction développable en série entière.
Un zéro a est isolé s'il existe un intervalle ouvert autour de a où f ne s'annule pas.
Le contrexemple type: 0 n'est pas un zéro isolé pour f(x)=xsin(1/x)
Salut à tous!
Si vraiment tu ne veux pas passer par les séries entières, utilise une formule trigonométrique qui te permet d'écrire cos(ax)+cos(bx) comme un produit, et cherche les zéros. Tu verras bien qu'ils sont isolés!
C'est bon, j'ai compris le principe de la démonstration proposée.
En fait, c'est une démonstration par l'absurde. On suppose les zéros ne sont pas isolés, puis en passant par une suite convergente de ces zéros, on montre que les dérivées successives de la fonction possède les mêmes zéros, ce qui est absurde puisqu'il avait été démontré précédemment que ce n'était pas possible !
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