Bonjour

Il aurait sans doute été préférable d'avoir plus d'informations sur le contexte de cette notation.

Enfin, malgré cela, la notation 0:=ensemble vide est une notation ensembliste.

Elle signifie que l'on définit O comme étant l'ensemble vide, c'est-à-dire l'ensemble ne contenant aucun élément.

En effet, en mathématiques, le O a un sens bien plus vaste que le O que l'on connaît.
Par exemple, quand on manipule des nombres et non des ensembles, O est le neutre pour l'addition : c'est le seul élément qui ajouté à un autre élément ne modifie pas la valeur de cet autre élément.

Et bien dans les ensembles, étant donné que l'addition de nombres est remplacée par l'union d'ensembles, le O est le neutre pour l'union.
C'est donc l'unique ensemble qui, uni à tout autre ensemble, ne modifie pas cet autre ensemble.
Et cet élément est clairement l'ensemble vide, celui qui ne contient aucun élément.

Voilà à mon avis pourquoi on utilise cette notation.