Très drôle... je ne connaissais pas cette "méthode de la fonction muette" et en cherchant sur le ouebbe j'ai vu ce que c'est : c'est tout simplement la définition de la loi d'une variable aléatoire.

Bonjour Stokastik

Je ne comprends pas bien ce qu'il y a d'amusant dans ma question, la méthode de la fonction muette sert à trouver la loi d'une variable aléatoire mais il y a bien des étapes à suivre et ce n'est en aucun cas une définition, c'est une méthode, comme son nom l'indique...

Aussi si quelqu'un maitrise cette méthode en probas, merci de m'éclaircir sur le sujet.

lol je comprends très bien je vais t'expliquer

Comme je le disais la "méthode de la fonction muette" n'est rien d'autre que la définition de la loi d'une variable aléatoire.

La loi d'une variable aléatoire est une probabilité telle que : pour toute fonction continue et bornée on a .

En particulier, pour les lois à densité :

La variable aléatoire admet pour densité si et seulement si  pour toute fonction continue et bornée on a .

C'est cette caractérisation que l'on appelle "méthode de la fonction muette", et ce n'est donc rien d'autre que la définition dans le cas des lois à densité.

... je te donne un exemple dans quelques instants

D'abord une remarque sur cette appellation "méthode de la fonction muette". J'attire l'attention de mes amis mathïliens.

En fait je trouve que le fait de rebaptiser une définition par "méthode de machin" est très pédagogique.
Par exemple ici :  la majorité des étudiants ne sait pas quoi faire quand on leur demande de montrer que telle variable aléatoire suit telle loi, alors qu'ils ont cette définition sous les yeux.

Plus généralement le problème vient du fait que cette majorité des étudiants n'a pas assimilé le fait qu'en maths, quand on veut démontrer qu'un objet s'appelle "bidule", il faut prendre la définition de "bidule" et montrer que cet objet vérifie bien cette définition.
Donc au lieu d'appeler cela une "définition" mais une "méthode", cela attire l'attention sur le fait que "c'est ce qu'il faut faire".

C'est ce que font certains profs de collège et de lycée, ils n'écrivent jamais "définition" mais plutôt une "méthode", par exemple : "Pour démontrer qu'une droite est la médiatrice d'un segment, je dois démontrer qu'elle passe par le milieu de ce segment et qu'elle est perpendiculaire à ce segment".

Pour les collégiens et les lycéens cela est bien plus efficace que "Définition : la médiatrice d'un segment est la droite...".

Avec ça ils ne savent pas comment justifier qu'une droite est la médiatrice d'un segment, pourtant c'est la même chose.

À part ça Djeffrey je t'ai promis un exemple, je te le donne plus tard dans la journée.

à+

Merci beacoup.
j'attends cet exemple, c'est encore un peu flou...
Merci

Bon en vitesse.

Soit une va de loi exponentielle de paramètre 1, c'est-à-dire que la densité de est pour .

Par définition cela signifie que pour toute fonction g continue et bornée on a

.

Supposons qu'on te demande de déterminer la densité de la variable aléatoire .  

Et bien il faut que tu trouves une fonction telle que pour toute fonction h continue bornée on a

,

et tu pourras alors affirmer que cette fonction est la densité de Y.

Tu procèdes alors ainsi :

1ère étape, indipensable, écrire : Soit h une fonction continue bornée.

2ème étape : Il faut calculer . Pour cela on va utiliser (*). Tu écris que , c'est-à-dire que avec k la fonction définie par .

Donc  .

Tu utilises alors (*) en prenant comme fonction g la fonctoin . Ceci donne :

.

3ème étape : Pour arriver à (**), il te reste à transformer cette intégrale pour la mettre sous la forme .

Cela s'obtient en faisant le changement de variable .

4ème étape : tu conclus que la fonction que tu as trouvée est la densité de Y