integration par partie (IPP :) )

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integration par partie (IPP )

Posté le 21-02-07 à 16:11

Posté par tweety3000 (invité)

salutations!
J'ai un exo a rendre sur une integration par partie mais je bloque... Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?? VOici l'enonce:

Soit n un entier naturel n

2 et k un entier naturel inférieur ou égal à n. On pose
I_k,n=

₀¹C_n^k(1-x)^n-kdx

1.A l'aide d'une intégration par parties déterminer une relation de récurrence entre I_k,net I_k+1,n lorsque k<n et montrer que la suite (I_k,n)_k est constante.

2. En deduire la valeur de I_k,n=

₀¹C_n^k(1-x)^n-kdx

Pour la premiere question j 'avais commence une integration par partie et j'avais trouve que C_n^k+1= C_n^k*[(n-k)/(k+1)]
et j'avais obtenu I_k,n= (k+1)

₀¹C_n^k+1(i-x)^(n-(l+1))x dx donc j'ai Ik+1 mais j'ai un x en plus qui ne m'interesse pas... Je suis donc bloque la...
Merci encore pour votre aide!

integration par partie (IPP)

Posté le 21-02-07 à 16:34

Posté par raymond

Bonjour.

Une petite précision. Ne serait-ce pas :

$3$\textrm I_{k,n} = \Bigint_{0}^{1}C_{n}^{k}x^k(1 - x)^{n-k}dx$ ?

A plus RR.

re : integration par partie (IPP

)

Posté le 22-02-07 à 02:19

Posté par tweety3000 (invité)

bonsoir Raymond,

oui tu as tout a fait raison. Typo sur le DM... trouves-tu que Ik+1=Ik??
En ce qui concerne la deuxieme question pourrais-tu m'aider s'il te plait?
merci d'avance!

re : integration par partie (IPP )

Posté le 22-02-07 à 12:45

Posté par raymond

Bonjour.

Je me penche sur ton sujet dans environ une heure. Je ne voulais pas démarrer sans être sûr de l'énoncé.

A plus RR.

integration par parties (ipp)

Posté le 22-02-07 à 13:01

Posté par bapader

Bonjour,

Tweety, ta relation entre $C_n^k$ et $C_n^{k+1}$ est juste !
Il ne te reste plus qu'à faire l'intégration par parties dans $I_{k,n}$ : dérive $(1-x)^{n-k}$ et intègre $x^k$ , ça devrait marcher !

BA.

integration par parties (ipp)

Posté le 22-02-07 à 13:46

Posté par raymond

Je traite d'abord les cas exceptionnels.

¤ k = 0.

$2$\textrm I_{0,n} = \Bigint_{0}^{1}(1 - x)^n dx = [-\frac{(1 - x)^{n+1}}{n + 1}]_{0}^1 = \frac{1}{n + 1}$

¤ k = n

$2$\textrm I_{n,n} = \Bigint_{0}^{1}x^n dx = [\frac{x^{n+1}}{n + 1}]_{0}^1 = \frac{1}{n + 1}$

Passons au cas général : 0 < k < n.

Je pose $2$\textrm u = (1 - x)^{n-k} , \ v' = x^k$ . Alors :

$2$\textrm I_{k,n} = C_n^{k}([\frac{(1-x)^{n-k}.x^{k+1}}{k + 1}]_{0}^{1} + \Bigint_{0}^{1}\frac{x^{k+1}}{k+1}(n-k)(1-x)^{n-k-1}dx)$ .

Ce qui donne (calcul valable pour k = 0 mais pas pour k = n) :

$2$\textrm I_{k,n} = \frac{n-k}{k+1}C_n^{k}\Bigint_{0}^{1}x^{k+1}(1-x)^{n-(k+1)}dx$ .

Il reste à étudier $2$\textrm\frac{n-k}{k+1}C_n^{k} = \frac{(n-k)n!}{(k+1)k!(n-k)!} = C_n^{k+1}$ .

Donc : $3$\textrm\fbox{I_{k,n} = I_{k+1,n} , 0 \le \ k < n}$

Cette formule étant vraie aussi pour k = 0, on aura : $2$\textrm I_{k,n} = I_{0,n} = \frac{1}{n+1}$

Comme on a trouvé la même chose pour k = n, on aura :

$3$\textrm\fbox{\forall{k} , 0 \le \ k \le \ n , I_{k,n} = \frac{1}{n+1}}$

A plus RR.

re : integration par partie (IPP

)

Posté le 22-02-07 à 16:33

Posté par tweety3000 (invité)

merci beaucoup a vous tous! vous me sauvez trop la vie! bonne apres-midi!

re : integration par partie (IPP)

Posté le 22-02-07 à 16:36

Posté par raymond

Pas de problème.
A plus RR.

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