bonsoir,
voila j'ai des difficultes avec ces 3 questions ,alors merci de m'aider ,voila:
- considerons que l'endomorphisme F de R3 tel que:
F(e1)=(3,1,1) , f(e2)=(0,a,0) , f(e3)=(-2,-1,b)
ou c = (ei)3i=1est la base canonique de R3 , a,b deux parametre reels.
1\ Determiner l'expression de F
2\ determiner suivant les valeurs de a,b une base de Im F
3\ dans quel cas F est bijictive?
merci d'avance .
Salut, j'ai plus trop de le temps de rédiger la soluce en entier mais,
il me semble que les valeurs importantes pour a et b sont:
1) b qcq diff de -2/3=> Im f = IR^3
2)b=-2/3 et a=0
3)b=-2/3 et a qcq diff de 0
c'est fini...
Bonsoir,
(3,0,-2)
(1,a,-1)
(1,0, b)
det(M)=3ab+2a=a(3b+2)
donc F est bijectif (endo ) si a=!0 et b=!-2/3 : dans ce cas ImF=R^3 ( c base de ImF )
Dans un autre cas, même si a=0, f(e1) et f(e3) n'ont aucune chance d'être colinéaire donc Imf = (f(e1), f(e3)). :o C'est violent alors je te présente une méthode plus général...
On peut chercher le noyau et d'en déduire la dimension l'image (selon les différents cas).
si b =-2/3 kerf = R*(-2a,1,3a)
si b=!-2/3 et a=0 kerf = R*e2 (si a=0 R*e2 est clairement dans kerf)
si b=!-2/3 et a=!0 kerf ={0} (on retrouve le même résultat)
Cela permet d'identifier les différents cas. Ici si b=!0 ou a=!0 alors dim Imf = 2
Ensuite on cherche à "simplifier" Imf = vect(f(e1),f(e2),f(e3)) avec des opérations de Gauss.
si a=!0 Imf = (f(e1), e2 ) par exemple.
si a=0 Imf = (f(e1), f(e3) ) ou encore Imf = (f(e1), f(e1)+f(e3) ) (il faut que ce soit zolie!)
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