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transposition et conjugaison

Posté par
romu 31-01-08 à 12:36

Bonjour,

Citation :
On dit que deux permutations \sigma et \sigma' de S_n sont conjuguées dans S_n s'il existe une permutation \alpha telle que \sigma'=\alpha\sigma\alpha^{-1}.

Démontrer la formule suivante, pour un k-cycle (x_1,...,x_k):

3$\alpha(x_1,...,x_k)\alpha^{-1}=(\alpha(x_1),...,\alpha(x_k)).



Bon, ça c'est ok. Ensuite:

Citation :
En déduire, en particulier, que toutes les propositions sont conjuguées dans S_n.


Là si je comprends bien, il faut donc montrer qu'il existe \sigma\in S_n tel que (k,l)=(\sigma(i),\sigma(j)), mais je ne vois pas vraiment comment.

Merci pour vos indications.

Posté par
Rodrigore : transposition et conjugaison 31-01-08 à 12:44

Bonjour
Ben consièdre une permutation qui envoie k sur i et l sur j

Posté par
romure : transposition et conjugaison 31-01-08 à 12:50

bonjour Rodrigo,

j'y avais pensé du genre \sigma=(i,k)(l,j).

Par hypothèse on a i\neq j, et k\neq l.

Mais ne faut-il pas faire une distinction de cas, selon si i=l et k\neq j, i\neq l et k\neq j.... ?

Posté par
Rodrigore : transposition et conjugaison 31-01-08 à 12:51

Non si i différent de j et k différent de l il existera toujours une permutation envoyant i sur k et j sur l.

Posté par
romure : transposition et conjugaison 31-01-08 à 14:22

ok donc j'essaie de montrer ce que tu viens de dire:

donc si je prends l'application \sigma définie par:

i\rightarrow k

j\rightarrow l

k\rightarrow i

l\rightarrow j

x\rightarrow x pour x\not\in \{i,j,k,l\},



si i\neq k, et i\neq l c'est bien une permutation,

si i=k, c'est bien une permutation, si j=l aussi,

si i=l, on a donc par définition de \sigma,

\sigma(i)=k et \sigma(i)= \sigma(l) = j, donc j=k, et donc c'est bien une permutation,
de même si j=k.

Donc \sigma est la permutation cherchée, c'est bien ça?

Posté par
romure : transposition et conjugaison 31-01-08 à 14:31

j'ai du faire une boulette

Je ne sais pas si mon application \sigma est bien définie.

Posté par
Camélia Correcteurre : transposition et conjugaison 31-01-08 à 14:34

Mais non, est elle est bien définie. Il suffit de dire que les points dont on n'a pas parlé sont laissé fixes.

Posté par
romure : transposition et conjugaison 31-01-08 à 14:37

oui mais pour exemple pour le cas où i=l,

je peux pas dire que qu'on doit avoir j=k ? Je me suis trompé non?

Pour ce cas je devrais plutôt prendre une autre permutation comme (i,k,j) non?

Posté par
romure : transposition et conjugaison 31-01-08 à 14:41

enfin je veux dire, qu'on peut très bien se retrouver avec une configuration:

i=l et j\neq k, et à ce moment là, \sigma n'est pas bien définie.

c'est compliqué ce groupe symétrique

Posté par
Camélia Correcteurre : transposition et conjugaison 31-01-08 à 14:44

Je refixe les notations. Tu as ij et kl. Tu veux montrer que (i,j) et (k,l) sont conjuguées.
Avec (i)=k, (j)=l, (k)=i, (l)=j et tous les autres points fixes, il n'y a pas de problème. Si i=k, il sera aussi fixe et c'est pas grave.

Posté par
romure : transposition et conjugaison 31-01-08 à 14:53

oui pour i=k ou j=l je n'ai pas de problème, mais si on a

i=l et j\neq k,

on aura alors

\sigma(i)=k et \sigma(i)=\sigma(l) = j et j\neq k,

donc i admet deux images distinctes, donc \sigma n'est pas bien définie, non?

Posté par
Camélia Correcteurre : transposition et conjugaison 31-01-08 à 15:01

J'ai enfin compris ton problème! Tu as raison sur l'écriture. Néanmoins: (k,l)=(l,k) et (i,j)=(j,i). Donc en fait il faut distinguer les cas:

si les 4 sont distincts, no problem
Si les ensembles {i,j} et {k,l} ont un élément commun: on appelle i=k celui-là, et on fait comme plus haut.

Si les deux ensembles sont égaux, on a la même transposition et Id fait l'affaire!

Posté par
romure : transposition et conjugaison 31-01-08 à 15:19

ok, oui après une étude de chaque cas, j'arrive à cette conclusion.

Merci Camélia

Posté par
romure : transposition et conjugaison 02-02-08 à 22:25

Bon cette fois je dois montrer que

Citation :
(1) Deux cycles sont conjuguées dans \mathbb{S_n} si et seulement si ils ont même longueur.

(2) Deux permutations sont conjuguées dans \mathbb{S_n} si et seulement si elles ont même type.


pour la (1), voilà ce que j'ai fait:

==> :  

On suppose donc qu'on a deux cycles (x_1,...,x_p), (y_1,...,y_q) conjuguées dans \mathbb{S_n},

ie il existe \alpha\in \mathbb{S_n} tel que \alpha (x_1,...,x_p) \alpha^{-1} = (y_1,...,y_q).

Or \alpha (x_1,...,x_p) \alpha^{-1} = (\alpha(x_1),...,\alpha(x_p)),

donc (\alpha(x_1),...,\alpha(x_p)) = (y_1,...,y_q), d'où p=q.



<== :

  
On suppose donc qu'on a deux cycles (x_1,...,x_p), (y_1,...,y_p), dans \mathbb{S_n}.


On pose y_i = \alpha(x_i) pour tout i, et \alpha laisse fixe les autres points de \{1,...,n\}. Ainsi construite, \alpha est une permutation de \mathbb{S}_n,

et on a alors (y_1,...,y_p) = (\alpha(x_1),...,\alpha(x_p)) = \alpha (x_1,...,x_p) \alpha^{-1}


Après pour la (2), je ne sais pas ce que ça veut dire que le "type" d'une permutation

Posté par
Camélia Correcteurre : transposition et conjugaison 03-02-08 à 14:46

Rebonjour

Justement, le "type" est la caractérisation de la décomposition en cycles disjoints. Dire que est de type (2,2,8) c'est dire qu'il y a 2 transpositions et un 8-cycle étant entendu que s'il y a plus de 12 éléments tous les autres sont fixes.

Posté par
romure : transposition et conjugaison 03-02-08 à 17:30

Bonjour Camélia,

ok, je vois ce qu'est le type, je pense avoir résolu l'implication directe,

par contre je me suis gouré pour l'application \alpha dans la question précédente,

je construis l'application \alpha de cette façon:

si x\in \{x_1,...,x_p\}, \alpha(x) := \alpha(x_i)= y_i

si x\notin \{x_1,...,x_p\}:

    si x\in \{y_1,...,y_p\}, \alpha(x) := \alpha(y_i) = x_i,

   si x\notin \{y_1,...,y_p\}, \alpha(x) := x.

Bon, il reste à montrer que \alpha est bijective, il suffit pour cela de montrer que \alpha est surjective.

Soit a\in \{1,...,n\}.

Si a\in \{y_1,...,y_p\}, ie a=y_i, on a a=\alpha(x_i), on a a =\alpha(x_i).

Si a\notin \{y_1,...,y_p\} et si a\in \{x_1,...,x_p\}, ie a=x_i, là j'ai envie de dire que a=\alpha(y_i) mais je ne vois pas comment le prouver

Si a\notin \{y_1,...,y_p\} \cup \{x_1,...,x_p\}, on a \alpha(a)=a.

Posté par
romure : transposition et conjugaison 03-02-08 à 17:37

Bon je crois que j'ai trouvé en fait,

je pense que le moyen le moins chiant pour écrire une démonstration de la bijectivité de \alpha va petre de mieux partitionner mon ensemble et de lui exhiber un inverse.

Posté par
romure : transposition et conjugaison 03-02-08 à 18:05

Pour la (2), je ne vois pas comment procéder pour l'implication indirecte:

Soient \sigma, \sigma'\in S_n deux permutations de même type, ie qu'elles admettent respectivement comme décomposition en cycles à supports disjoints:

\sigma=c_1...c_p

\sigma'=d_1...d_p

avec longueur(c_i)=longueur(d_i) quelque soit i\in \{1,...,p\}.

D'après (1), pour tout i, c_i et d_i sont conjuguées dans S_n.

Donc il existe \alpha_i\in S_n tel que c_i=\alpha_id_i\alpha^{-1}.

Par conséquent 3$\sigma=\alpha_1 d_1 \alpha_1^{-1} \alpha_2 d_2 \alpha_2^{-1}... \alpha_p d_p \alpha_p^{-1}.

Et là je ne vois pas comment négocier la suite.

Posté par
Camélia Correcteurre : transposition et conjugaison 04-02-08 à 14:13

Définis en une fois comme recollement des i, ou, peut-être plus facile à rédiger fais une récurrence sur le nombre de cycles disjoints.

Posté par
Camélia Correcteurre : transposition et conjugaison 04-02-08 à 15:49

T'avais pas posé une question sur les centres de Sn et An? je n'arrive pas à la retrouver...

Posté par
romure : transposition et conjugaison 04-02-08 à 22:04

oui centre du groupe symétrique et du groupe alterné, mais en fait j'ai trouvé réponse à mes questions finalement.


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