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Intégration : Calcul d'une intégrale classique
Bonsoir,
un peu d'intégration pour changer.
Voici le problème.
Soit .
L'un des but de l'exercice est de trouver la valeur de I.
On pose .
a) Montrer que f est définie et continue sur entier.
b) Montrer que f dérivable sur
c) Calculer f'
d) Montrer que
e) En déduire que pour tout x>0
Conclure.
---
a) La fonction est continue donc localement intégrable.
En 0, on qui est intégrable par le critère de Riemann.
Au voisinage de on a :
on conclut avec Riemann again.
On pose .
Comment montrer que f est continue?
b)
Il faut vérifier que :
est dérivable : c'est ok, la dérivée est
est intégrable : continue donc localement intégrable.
Utilise-t-on le critère de Riemann ?
Re H_aldnoer
a) je ne comprends pas ce que tu fais.
Pour montrer que f est bien défini, tu te fixes un réel x quelconque et tu montre que l'intégrale existe.
Pour la continuité, il faut appliquer le théorème de continuité sous l'intégrale.
b) et c) Ici, pareil : il faut utiliser un théorème pour pouvoir dériver sous le signe intégrale.
Kaiser
Re-bonsoir kaiser.
Soit donc .
On a .
Donc .
Enfin , la dernière intégrale est fini par le critère de Riemann.
1) n'écris pas f(x) avant de t'être assuré que ça existe (bon, OK, c'est un détail)
2) laisse le 1 au dénominateur (1/t² n'est pas intégrable en 0).
Kaiser
Ok.
Mais si je met pas f(x) je met quoi ??
Ensuite :
.g est continue
.il existe (L rond) telle que
On peut appliquer le thm. de continuité sous le signe intégrale.
Mais si je met pas f(x) je met quoi ??
avec une phrase, tu dis que tu fixes x et la fonction qui à t associe g(x,t) est intégrable.
g est continue
Il faut plutôt dire que pour tout t, l'application qui à x associe g(x,t) est continue.
Sinon, le reste est correct.
Kaiser
Ok.
Le b) on dit que la fonction est dérivable sur
de dérivée
.
Ensuite il faut justifier que est intégrable sur
On utilise la majoration ?
Tu peux mais en fait ici, on a de la chance : il me semble qu'on peut trouver une majorante intégrable valable pour tout x réel.
Kaiser
Avec mon idée je trouve :
où
la fonction ) est
intégrable sur tout compact car continue
intégrable au voisinage de c'est un
.
au voisinage de 0, qui est fini ?
Avec ton idée, je ne trouve cette majorante!
Bonsoir H_aldnoer 
kaiser comme je tiens un spécialiste de l'intégration, tu connais surement la méthode de Laplace(bon comme t'as le Rouvière oui 
) est-ce que tu as une autre application que l'équivalent de Gamma parce que bon ca doit bien servir à autre chose, je veux dire à évaluer des intégrales qui proviennent de problèmes intéressants et qui sont pas parachutées.
Désolé de polluer ton topic H_aldnoer 
Je dois y aller kaiser car je bosse demain (comme d'hab :/).
Si l'envie te prend de faire une correction, j'en serais ravi !
Bonne soirée à tous les matheux fou qui traîne sur l'ile à cette heure-ci (moi compris) !
A demain.
Avec ton idée fais attention aux majorations (comme tu majores avec les valeurs absolues, tu dois faire attention aux signes : je te conseille de prendre des intervalles du type ]-a,a[ avec a > 0)
Sinon, oublie ce que j'ai dit pour la majorante "uniforme" : je me suis planté.
Kaiser
H_aldnoer > OK, à plus tard ! 
Cauchy > Non, désolé, je ne vois pas d'autre application "concrète" de cette méthode (à chaque fois, quand j'ouvre un bouquin, ça parle de Stirling, sauf dans le Gourdon où il y a des exemples d'applications mais on ne sait pas d'où elles viennet).
Kaiser
Ok donc c'est comme moi soit je voyais l'application à Gamma soit une intégrale dégueulasse qui provient de nulle part dans les livres.
Je trouve que ca fait un peu développement d'agreg parce que ca tient 15mn mais je sais pas a quoi ca sert a part Stirling, bon qu'est ce que je vais mettre dans ma lecon développements asymptotiques
Si tu veux, il y a une étude asymptotique de la fonction d'Airy dans le Zuily-Queffélec, à l'aide de la méthode dite de la phase stationnaire mais c'est un peu moche.
Kaiser
Oui j'avais vu mais c'est plus que moche (bon certes ca permet d'avoir le comportement d'une solution d'une équation différentielle(je sais pas si elle intervient en physique) donc c'est pas inutile)
Apparemment j'avais vu je crois que la méhode du col avait plus d'applications(genre peut etre en combinatoire) mais c'est souvent pas du tout trivial.
T'as préparé quoi toi comme lecons en oral devant la classe?
T'as préparé quoi toi comme lecons en oral devant la classe?
1) endomorphismes remarquables d'un espace euclidien
2) Espaces
3) Je te laisse deviner !
Kaiser
Espaces Lp la pure leçon ou tu peux faire 10 pages, trop le bon plan de tomber la-dessus si t'es chaud, ca manque pas de développements la
Moi j'ai préparé homographies, constructions à la règle et au compas et la développements asymptotiques d'une fonction de la variable réelle à venir.
Je devine, développements asymptotiques tu prépares ?
Tu proposes quoi en développement sur endomorphismes remarquables?
Je devine, développements asymptotiques tu prépares ?
Perdu ! Cherche mieux !
Tu proposes quoi en développement sur endomorphismes remarquables?
1) décomposition polaire + calcul de la distance d'une matrice au groupe orthogonal
2) Tout sous-groupe compact de
3) réduction des symétriques + existence (éventuellement unicité s'il y a le temps) de la racine carrée d'une matrice symétrique positive
4) l'exponentielle réalise un homéomorphisme entre les matrices symétrique et les matrices symétriques définies positives
Cela dit, le jour J, je ne proposerai peut-être pas les 4.
Kaiser
Ok, tu fais laquelle de démo pour les sous-groupes compacts?
Alors peut etre que tu prépares homographies?
Ou alors une lecon sur les corps de rupture c'est la mode sur le forum.
Ok, tu fais laquelle de démo pour les sous-groupes compacts?
celle qui commence par un théorème de point fixe.
Le prof m'a conseillé de faire celle utilisant le théorème de John (avec l'ellipsoïde de volume minimal).
Alors peut etre que tu prépares homographies?
Ou alors une lecon sur les corps de rupture c'est la mode sur le forum.
non, c'est une leçon d'analyse.
Kaiser
euh non !
Un indice pour te mettre sur la voix : c'est quelque chose que j'apprécie tout particulièrement ! (je ne peux pas être plus explicite que ça)
Kaiser
Ah tu prépares fonctions holomorphes la chance(ou alors l'autre fonctions holo et méromorphes sur un ouvert)
Ah tu prépares fonctions holomorphes la chance
plutôt celle-ci.
Sinon, pour préciser, j'ai déjà présenté mes 3 leçons.
kaiser
Ah d'accord, nous c'est 3 dans l'année mais je me suis proposé sur un créneau vacant sur cette magnifique lecons de développements asymptotiques, pour la prochaine je vais essayer de prendre une bonne lecon d'analyse fonctionnelle qui fait plaisir.
OK !
J'oubliais. Voici un message subliminal : il reste un mois (enfin, moi je dis ça, je dis rien ! )
Kaiser
Mouarf, la géométrie projective, il suffirait d'en faire un peu pour avoir une note honorable
Bonne nuit
Mouarf, la géométrie projective, il suffirait d'en faire un peu pour avoir une note honorable
ouais... mais non !
Kaiser
topic interressant à partir de 00:41
on apprend beaucoup de choses!
Kaiser aiment beaucoup l'analyse et les trucs affreux comme l'integration(enfin les trucs holomorphes et méromorphes...c'est pire
).
On apprend aussi que Kaiser n'aime pas la géom"trie projective ou peu (là en fait on apprend que Kaiser n'est pas un robot ).
Sinon Vivement que vous soyez prof tout les deux,si c'est d'ici 4 ans j'espere vraiment assister à l'un de vos cours
Bonne chance à vous deux et merci encore d'avoir supporter les topics incessants d'algebre de moi-meme et par la meme occasion ceux de H
enfin les trucs holomorphes et méromorphes...c'est pire
Tout comme Cauchy, je m'insurge ! C'est super cool l'analyse complexe ! Tu n'as pas encore fait ?
H_aldnoer > Il faut majorer par un truc indépendant de x et intégrable.
Kaiser
C'est super cool l'analyse complexe !
Cela dit, certain(e)s (une personne en particulier !
) risquent de me contredire sur ce coup-là !
Kaiser
kaiser, je suis sur un exercice que voici 
Une petite formule .
on peut essayer de le traiter avant de revenir à celui-ci?
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