bonjour,
voici 2 exo sur les polynômes :
1) Determiner tous les polynômes de C[X] tq (X+4)*P(X) = X*P(X+1)
2) Determiner tous les polynômes de C[X] tq P(X²) = P(X-1)*P(X+1)
pour le 1):
on ' voit ' que 0 -1 -2 -3 sont racines de P donc deg P >=4 et il s'écrit alors
P(X) = X(X+1)(X+2)(X+3)*A(X) , A(X) dans C[X]
donc en remplaçant dans 1) on a que A(X) = A(X+1) donc que deg A = 0 (car P n'est pas le polynome nul donc A non plus)
ainsi les solutions sont les polynômes de la forme : P(X) = aX(X+1)(X+2)(X+3) avec a € C
qu'en pensez-vous ?
pour le 2) je commence là
merci d'avance
@+
salut
0 est racine de P car 4P(0)=0 => P(0)=0
-3 est racine de P car -4P(-3)=0
P(X)=X(X+3)Q(X)
P(X+1)=(X+1)(X+4)Q(X+1)
(X+4)P(X) = (X+4)X(X+3)Q(X)
XP(X+1) = X(X+1)(X+4)Q(X+1)
donc
(X+3)Q(X)=(X+1)Q(X+1)
Q(-1)=0 et Q(-2)=0 => Q(X)=(X+1)(X+2)A(X)
(X+3)Q(X)= (X+1)(X+2)(X+3)A(X)
(X+1)Q(X+1)= (X+1)(X+2)(X+3)A(X+1)
=> A(X)=A(X+1)=> A(X)=a
OK je suis d'accord avec toi
D.
Salut à tous
Il ne faudrait pas aussi prendre en compte le fait que les racines puissent être multiples ?
Kaiser
J'ai peut-être une idée.
Il faut commencer (en supposant P non constant) par remarquer que si z est une racine complexe, alors (z+1)² et (z-1)² sont des racines de P.
De là, essaie de montrer que toutes les racines de P sont de module 1.
Kaiser
En fait, après mûre réflexion, je crois qu'il n'y pas de solution non constante.
Pour cela, il suffit de montrer que si a est une racine de P, alors on peut trouver une racine de module strictement plus grand (en utilisant ma remarque précédente).
Kaiser
bonjour
si z racine alors (z-1)² et (z+1)² ca d'accord mais en quoi montrer qu'elles sont de module 1 aiderait ? et comment le montrer surtout :s ...
ça permettrai d'avoir que si z est une racine alors (z+1)² et (z-1)² aussi donc ces 3 complexes serait de module 1 ce qui ne peut pas se produire (on peut voir ça par le calcul ou mieux, géométriquement : ça impliquerait que les 3 cercles de rayon 1 et de centres respectifs 0, 1 et -1 se coupent en au au moins point).
Sinon, comme précisé dans mon dernier message, raisonne plutôt ainsi : si z est une racine de P, trouve une racine de P qui est de module strictement plus grand.
Kaiser
En fait, je supposais que les racines étaient de module différent de 1 et je faisait mon raisonnement (c'est-à-dire de trouver une racine de module strictement plus grand) mais je me suis aperçu que je ne me servais même pas de cette hypothèse : en effet, le raisonnement marche quel que soit le module : bref, oublie cette histoire de module et raisonne dans le cas général.
Kaiser
Je rappelle que le but est quand même de montrer que le polynôme est nécessairement constant (et donc nul, s'il possède au moins une racine).
Kaiser
il faut factoriser P par z, (z-1)² et (z+1)² et montrer en fait qu'il possède une infinité de racines alors ?
OK.
Maintenant, si z est une racine de P, comme fais-tu pour trouver une racine de P de module strictement plus grand ?
Kaiser
n'oublie pas : si z est racine, alors (z+1)² et (z-1)² sont racines : montre que l'un d'eux est convient.
Kaiser
a ok donc il faut montrer que si le module de l'une des (z+1)² et (z-1)² est plus petit alors celui de l'autre est plus grand
Tu peux raisonner directement :
pour te donner l'idée : qu'est-ce qui fait que (z+1)² est de norme plus petite que z, dans le cas z=-2 ?
Kaiser
Pour quoi faire ? on a déjà fini.
(Plus haut, j'avais dit de laisser tomber cette histoire de module 1. )
De plus, ce que tu dit ne peut pas se produire : à chaque fois on trouve une racine de module strictement plus grand.
Kaiser
bah oui c'est pour ca ca me paraissait bizarre
par contre comment ca c'est fini ? l'exercice est fini ?
ben oui :
Plus haut, il a été mentionné que les polynômes constants égaux à 0 ou 1 sont solutions de l'équation (ce sont les seuls polynômes constants solution).
Si P n'est pas constant il admet une racine complexe, et l'étude précédente montre que P admet une infinité de racines, donc il est nul ce qui absurde.
Conclusion : les seuls polynômes solutions sont 0 et 1.
Kaiser
pour ca je suis d'accord mais je ne vois pas où l'on a prouvé qu'il admettait une infinité de racines...
a si : si z racine alors (z+1)² racine donc ((z+1)²-1)² racine donc (((z+1)²-1)²-1)² racine etc, etc
donc P=0 s'il y a une racine et P=1 sinon
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