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matrice semblables...
Bonsoir,
j'ai un petit problème de mémoire concernant les histoire de matrice semblable :
je cherche à démontrer que si les valeurs propres d'une matrice A de sont complexes alors :
elles sont conjuguées (ca c'est bon), et on les écris et
et A peut s'écrire (dans une base convenablement choisie) et ca je ne me souviens plus comment on fait !!
Mon deuxième souci est sur la diagonalisation : toujours avec la matrice A, si ses valeur propre sont réelles non nulles et confondues () alors si A est diagonalisable, A est diagonale ! je n'y arrive pas non plus, (j'ai essayé de montrer que les matrice de passage sont l'identité mais je n'arrive pas à trouver les vecteurs qui engendrent le sous espace propre...)
Je remercie d'avance ceux qui prendront le temps de me lire ainsi que ceux qui prendrons le temps de me rafraichir la mémoire...
A bientot.
Salut vincprof
Je ne connais pas le premier résultat, mais ça sent la complexification d'espace vectoriel et j'aime pas trop ça!
Pour le deuxième en revanche, il suffit de dire que A étant diagonalisable de seule valeur propre w (désolé, je renomme!)
, elle est semblable à Diag(w,w).
Il existe donc une matrice inversible P telle que P-1AP=Diag (w,w) .
Cela équivaut à A=P.Diag(w,w).P-1 = P.(w.Diag(1,1)).P-1=
w.P.I.P-1=w.I.
Ainsi A est diagonale et s'écrit de la même façon dans toute base.
Merci pour la réponse !!
C'est rageant de voir que la réponse n'est pas plus compliquée!!
En tout cas, ça me dépanne bien !! merci.
qu'est ce donc la complexification d'ev?
C'est rageant de voir que la réponse n'est pas plus compliquée!!
->
En tout cas, ça me dépanne bien !! merci.
-> Avec plaisir!
qu'est ce donc la complexification d'ev?
->A tout R-ev E tu peux associer un C-ev E' qui admet pour ensemble sous-jacent E² avec les lois:
a) (x,y) + (x',y') = (x+x',y+y')
b) (u+iv).(x,y) = (u.x-v.y,v.x+u.y)
Les + et les - sont placés de sorte que le complexifié du R-ev R de dimension 1 sur lui-même soit le C-ev C.
Après tu démontres qu'il n'y a qu'une façon de prolonger une application linéaire f:E->E à E', et on appelle ce prolongement le complexifié de f.
Y a des théorèmes de compatibilité entre les notions, bref on sent bien que c'est le cadre idéal (ou cauchemardesque, au choix!
) pour interpréter de différentes manières une matrice à coefficients réels!
Mais vraiment je ne me suis jamais sorti de ce type de raisonnements!
Bonjour!
Concernant le premier problème:
Sans parler de complexifié, on peut voir toute matrice réelle comme une matrice complexe. Les deux matrices considérées sont alors semblables en tant que matrices complexes (mêmes valeurs propres distinctes).
Le résultat tombe alors tout de suite si l'on connaît le résultat suivant:
Si deux matrices réelles sont semblables en tant que matrices complexes, elles sont aussi semblables en tant que matrices réelles.
Si on ne connaît pas ce résultat, on peut le redémontrer dans le cas simple des matrices 2x2.
On doit pouvoir y arriver aussi en passant par une matrice orthogonale.
Bon, j'ai trouvé quelque chose mais je ne sais pas si c'est la solution la plus élégante!
En tout cas, elle est élémentaire au sens où je ne complexifie pas vraiment l'espace de départ, en tout cas je ne me sers d'aucune propriété liée à cette notion.
Ma démo est basée sur le classique
LEMME: Si deux matrices A et U réelles de format (n;n) sont semblables sur , alors elles sont semblables sur
PREUVE:
Par hypothèse il existe une matrice complexe inversible (avec
et
telle que
,
c'est-à-dire et
en égalant les parties
réelle et imaginaire de chaque membre.
Pour trouver une matrice réelle pouvant remplacer P, considérons le polynôme
Si f s'annulait en tout x réel, ce serait le polynôme nul, par cons&quent on aurait aussi ce qui contredirait l'inversibilité de la matrice P.
Il existe donc un réel x tel que soit une matrice (réelle) inversible.
Fait-elle l'affaire?
Oui, puisque d'après ce qui a été dit plus haut, .
P et U sont donc également semblables sur .
J'adore cette démonstration!
Passons à présent à ta question.
Soit A la matrice considérée, admettant les valeurs propres et
avec a et b réels et b non nul.
Soit la base canonique de
.
Appelons h l'endomorphisme de associé à A dans cette base.
D'après le lemme, il suffit de trouver une autre base de dans laquelle
h admet pour matrice la matrice U que tu donnes dans ton énoncé.
Après quelques tâtonnements puis quelques équations je l'avoue (j'en avais marre!), je suis tombé sur la base .
Je te laisse vérifier qu'elle convient bien.
Conclusion: A et U sont semblables dans et donc dans
d'après le lemme.
Tigweg
Merci pour vos réponses, je ne connaissais pas ce résultat ! merci de me l'avoir appris !
tout marche bien. Merci de m'avoir encore dépanné.
A bientot.
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