Bonjour,
je dois montrer que si pour tout c>0 |a-p/q|>c/q2 a une infinité de solution p,q dans Z alors a est irrationel. On m'a dit que c'était facile mais je sèche complètement.
Pourriez vous m'aider?
Je me suis trompé c'est |a-p/q|<c/q2 plutot.
(on ne peut pas éditer son message pour éviter le double post?)
Salut,
C'est pas évident! C'est surtout astucieux (et classique)!
Nain dix: Pense au principe des tiroirs de Dirichlet.
Ben c'est le moment de l'apprendre . C'est bebête mais puissant. Une manière assez heuristique de l'énoncé: "Si tu as n tiroirs et n+1 paires de chaussettes qui y sont rangées alors il y a au moins 1 tiroir qui contient 2 paires de chaussettes".
d'accord, alors je vais essayer avec le principe des tiroirs.
Je pense qu'il faut raissonner par l'absurde. DOnc je suppose que a est rationnel de la forme r/s
ALors |a-p/q|<c/q2
equivaut à |r/s-p/q|<c/q2
equivaut à |rq-sp|<cs/q
equivaut à |r-sp/q|<cs/q2
Et là franchement je vois pas ...
En fait le coup des chaussettes je pense que c'est pour prouver autre chose (essentiellement le contraire de ce que tu demandes).
Ici tu as l rq - ps l < c /q mais bon comme à gauche c'est un entier....et qu'il y a peu d'entier <1 tu conclus !
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