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Polynômes à n variables

Posté par
infophile 11-09-08 à 18:25

Bonjour

Citation :

On note E_n l'ev des fonctions polynômes à n variables et F_n le sev des fonctions polynômes telles que si x_i=x_j alors f(x_1,...,x_i,...,x_j,...x_n)=0.

Soit S_n le groupe des permutations on définit T_s(P)(x_1,...,x_n)=P(x_{s(1)},...,x_{s(n)})



1. Montrer que \forall P\in F_2, \exists Q_p\in E_2, P(x_1,x_2)=(x_1-x_2)Q_P(x_1,x_2)

Si on considère P comme polynôme à une seule variable x_1, alors comme x_2 est racine on peut factoriser P par (x_1-x_2), d'où le résultat.

2. Comparer Q_{T_s(P)} et T_s(Q_P)

Je trouve qu'ils sont égaux (?)

3. Toujours pour n=2 exprimer Q_P(x,x) en fonction de \frac{\partial P}{\partial x_1}(x,x)

En traitant des exemples je conjecture Q_P(x,x)=\frac{\partial P}{\partial x_1}(x,x).

Mais si je dérive la relation 1. par rapport à x_1 comme un produit j'ai :

\frac{\partial P}{\partial x_1}(x_1,x_2)=-x_2Q_P(x_1,x_2)+(x_1-x_2)\frac{\partial Q}{\partial x_1}(x_1,x_2)

Et en évaluant en (x,x) il vient \frac{\partial P}{\partial x_1}(x,x)=-xQ_P(x,x)

Où est l'erreur ? Merci !

Posté par
infophilere : Polynômes à n variables 11-09-08 à 20:11

up.

Posté par
Arkhnorre : Polynômes à n variables 11-09-08 à 20:16

Bonsoir.

Sauf erreur de ma part, l'erreur vient de ta dérivation, la dérivée de x_1 \rightarrow (x_1 - x_2) par rapport à x_1 vaut 1, et non - x_2.

Posté par
infophilere : Polynômes à n variables 11-09-08 à 20:40

Salut

Oh punaise j'suis un boulet...

Merci !

Tu penses quoi de la 2. ?

Posté par
Arkhnorre : Polynômes à n variables 12-09-08 à 09:01

Re.

Je trouve qu'ils sont égaux, au signe près. Tu connais les signatures de permutations ?

Sinon, pour la première, comment justifies-tu que Q_P \in E_2 ?

Et, bien sur : 5$ \rm \blue \fbox{\mathfrak{Joyeux Anniversaire Kevin !!}}

Posté par
infophilere : Polynômes à n variables 12-09-08 à 16:35

Merci Arkhnor

A quoi d'autre pourrait appartenir Q_P ? ^^

Oui j'ai vu les signatures, je vais regarder de plus près.

Posté par
Arkhnorre : Polynômes à n variables 12-09-08 à 17:15

En procédant comme ca, tu as juste montré que Q_P était polynomial en la variable x_1, mais ca ne montre pas que c'est une fonction polynomiale. Je me trompe ?

Posté par
infophilere : Polynômes à n variables 13-09-08 à 14:55

Hum je vois pas trop quoi ajouter  

Tu as fait comment pour la signature ?

Je poste la suite :

Citation :

On fixe f\in E_1 et on note P_f\in F_n défini par P_f(x_1,...,x_n)=det(a_{i,j})_{i,j=1..n}

où a_{i,1}=f(x_i) , a_{i,j}=x_i^{n-j} pour j=2,...,n
    


5. Si f(x)=x^{n-1} on a P_f(x_1,...,x_n)=\prod_{i<j}(x_i-x_j) (Vandermonde)

6. Trouver A_1,...,A_n\in E_n tels que Q_{P_f}(x_1,...,x_n)=\sum_{i}\frac{f(x_i)}{A_i(x_1,...,x_n)} et démontrer leur unicité.

J'ai écris Q_f=\frac{P_f}{\prod_{i<j}(x_i-x_j)} (admis) et j'ai développé le déterminant par rapport à la première colonne et j'ai obtiens un truc du style A_i=(-1)^{n+1}\prod_{j\neq i}(x_i-x_j) mais il doit y avoir des problèmes de signes..

Posté par
Arkhnorre : Polynômes à n variables 13-09-08 à 17:22

En fait, j'aurais reproduit la même démarche en considérant P comme un polynôme de variable x_2, en factorisant par (x_1-x_2), je trouve un polynome en x_2, qui est en fait Q_P. Q_p est polynomial en x_1 et en x_2, donc il appartient à E_2. (la dernière implication est pas si triviale que ca ...)
Mais bon, je complique peut-etre un peu les choses, te fie pas trop à ce que je raconte.

Pour les signatures, je les fait intervenir à la fin. Comme on travaille dans S_2, j'ai séparé les deux cas, selon que s = I_d ou non, et je regarde ce que ca donne.

Je regarde la suite.

Posté par
infophilere : Polynômes à n variables 17-09-08 à 20:51

Merci ! Un coup de pouce pour la suite ?

Posté par
infophilere : Polynômes à n variables 18-09-08 à 20:59

Dernier up, c'est pour demain ^^

Posté par
infophilere : Polynômes à n variables 18-09-08 à 21:50

Bon tant pis, à une prochaine !

Posté par
1 Schumi 1re : Polynômes à n variables 19-09-08 à 12:30

Un passage subliminal sur le topic: salut vieux! Ca va l'*?  Marrant tes dms on dirait.

Posté par
infophilere : Polynômes à n variables 19-09-08 à 15:08

Salut vieux

Ca m'gonfle profondément la spé si tu veux savoir lol

Et toi ? Tu te plais en France ?

Posté par
fedjerré 20-09-08 à 21:38

petit message special pour infophile
peux-tu faire 1 petit tour ici?
Infinité de nombres premiers.


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