Axiome du choix

Posté par Fradel Fradel

Bonjour à tous,

on parle parfois de l'axiome du choix dénombrable pour dire que "dans toute famille dénombrable d'ensembles non vide, il existe une fonction de choix" ; concrétement, si  (A_n) est une famille dénombrable d'ensembles non vides, il existe une fonction  f  telle que, pour tout n, f(A_n)A_n.
Cependant, n'est-ce pas une conséquence des axiomes et défintions ?

Je propose :
- pour chaque n, A_n a_nA_n ; on peut alors créer le couple (A_n,a_n) pour chaque valeur de n.

Considérons alors, la famille (G_n) définie par :
  G₀={a₀}   et, pour tout n,  G_n+1=G_n{a_n+1}
La réunion de la famille (G_n) est le graphe fonctionnel de la fonction de choix  A_na_n

Qu'en pensez-vous ?

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bonjour.

En choisissant une famille d'éléments telle que pour tout n, tu es déjà en train d'utiliser l'axiome du choix dénombrable.
Tu sais que chaque est non vide (c'est à dire que pour chaque , tu peux choisir un de ses éléments), mais pour construire une telle suite (c'est à dire pour faire simultanément une quantité dénombrable de choix), tu as besoin de l'axiome du choix.

Posté par Fradel Fradel

oups! J'ai répondu à ton post et il n'apparaît pas.
Tant pis, je recommence. D'abord merci Arknhor de ta réponse.

Je crois avoir compris ce que tu veux dire et ce qui ne va pas dans mon raisonnement. D'abord, je vais le reprendre ci-dessous :

1- Je considère un ensemble dénombrable d'ensembles non vides. Je peux écrire :
       E = {A_n / n}
2- Pour chaque n je considère un élément a_n de
ce qui est possible puisque A_n
3- Pour chaque n, je construis les couples (A_n,a_n)ExE
4- Par l'axiome de compréhension, je construis
       G = {(x,y)ExE / n   x=A_n    y=a_n}
5- G est un sous-ensemble de ExE, c'est-à-dire un graphe de ExE; d'autre part, il est fonctionnel ; il existe donc une fonction f de E dans E tel que a_n=f(A_n)A_n
f est donc une fonction de choix sur E.

Si j'ai bien compris, mon erreur réside dans le point 4, qui est une contraction de :
- Soit, G₀ = {(A₀, a₀)}
et, pour tout n, en supposant G_n construit, G_n+1=G_n{(A_n+1,a_n+1)}
- G = _nG_n

C'est sur ce dernier point que je crois percevoir le problème. G est la réunion d'un ensemble d'ensembles, mais ce n'est possible que si on a montré qu'un tel ensemble d'ensemble existe; or c'est précisément ce que je veux démontrer
Une _I est la réunion d'une famille d'ensembles; pour pouvoir effectuer une telle réunion, il faut déjà avoir prouvé que la collection d'ensembles dont on désire prendre la réunion, est en fait une famille.

Est-ce exact ?

Posté par Arkhnor Arkhnor

C'est dès le point 2 que ça plante. En écrivant , tu construis une suite, c'est-à-dire une application définie sur , qui à un entier associe un élément tel que .

Le point 4 n'utilise pas l'axiome du choix, d'après moi. Une fois la suite construite, tout est licite.
C'est justement pour construire cette suite qu'on a besoin de l'axiome du choix.

Une formulation de l'axiome du choix est : Si est une famille non vide d'ensembles non vides, alors est non vide, ce qui signifie qu'il existe une famille d'éléments de telle que pour tout .
L'axiome du choix dénombrable, c'est lorsqu'on se restreint à un ensemble dénombrable.

C'est justement ce que tu appliques à l'étape 2 : tu construis une famille d'éléments qui vérifient pour tout .

(sauf erreur de ma part, je ne suis pas logicien non plus ^^)

Posté par Arkhnor Arkhnor

Enfin, je comprends ton raisonnement.
Tu dis, à l'étape 2, que :
C'est vrai, sans utiliser l'axiome du choix.

En revanche, pour écrire : , tu as besoin de l'axiome du choix.
Or c'est ce que tu utilises dans la suite.

Pour parler en termes courants, tu n'as pas le droit de considérer les dans leur ensemble, mais seulement séparément, pour un fixé.
Finalement, c'est bien ton point 4 qui pose problème.

Posté par Fradel Fradel

Ok, je crois que cette fois j'ai bien compris.
Encore merci

Posté par maroxe maroxe

déjà lorsque tu écrit _n, tu as, tu as déjà "choisi" ton _n parmi d'autres eventuels.