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Problème avec des cubes...


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masterProblème avec des cubes...

#msg3159264#msg3159264 Posté le 20-09-10 à 21:35
Posté par Profiljulien007 julien007

Bonjour, je suis bloqué dans l'établissement d'un raisonnement pour le problème suivant :

Un grand cube 3x3x3 est formé d'un assemblage de 27 petits cubes 1x1x1 dont toutes les
faces sont blanches. On peint en noir les faces du grand cube, puis on le désassemble.
Quelqu'un ayant les yeux bandés reforme aléatoirement un cube 3x3x3 avec les 27 petits
cubes. Quelle est la probabilité que ce grand cube ait toutes ses faces entièrement noires?

Déjà, j'ai compté le nombre de cubes à 0 face noire : 1
                                       1            : 6
                                       2            : 12
                                       3            : 8

mais je ne vois pas quoi faire après, pouvez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance

PS : je suis nouveau sur ce site...
re : Problème avec des cubes...#msg3159383#msg3159383 Posté le 20-09-10 à 22:01
Posté par ProfilMatheuxMatou MatheuxMatou

bonsoir

ben il y a 27! façons de placer les 27 cubes

maintenant, pour placer les 8 coins qui conviennent : 8! façons
puis les 6 centres de faces qui conviennent : 6!
puis les 12 centre d'arêtes qui conviennent : 12!
(pour le cube central, une seule façon)
d'où la proba :
8!.6!.12!/27!

mm
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re : Problème avec des cubes...#msg3159407#msg3159407 Posté le 20-09-10 à 22:06
Posté par Profiljulien007 julien007

Merci beaucoup MatheuxMatou, je m'attendais à + compliqué mais c'était pour être sûr...

Merci encore !!!
re : Problème avec des cubes...#msg3159422#msg3159422 Posté le 20-09-10 à 22:10
Posté par ProfilMatheuxMatou MatheuxMatou

pas de quoi !
re : Problème avec des cubes...#msg3159442#msg3159442 Posté le 20-09-10 à 22:14
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

Une proba c'est quand même généralement inférieur à 1...^^

re : Problème avec des cubes...#msg3159444#msg3159444 Posté le 20-09-10 à 22:15
Posté par Profil1 Schumi 1 1 Schumi 1

J'avais pas vu le 27!. Au temps pour moi.

re : Problème avec des cubes...#msg3159469#msg3159469 Posté le 20-09-10 à 22:23
Posté par ProfilPIL PIL

Bonsoir à tous,

MM j'ai un doute : prends le problème plus simple où le grand cube est formé de 8 petits cubes; ce sont tous des coins (3 faces noires,3 faces blanches); ton raisonnement donne une probabilité égale à 1, non ?
re : Problème avec des cubes...#msg3159587#msg3159587 Posté le 20-09-10 à 23:21
Posté par Profilborneo borneo

Bonjour,


Une petite question indiscrète : on ne fait ce genre d'exo en master de quoi ?  
re : Problème avec des cubes...#msg3159592#msg3159592 Posté le 20-09-10 à 23:22
Posté par ProfilMatheuxMatou MatheuxMatou

c'est exact PIL... j'ai considéré dans l'énoncé uniquement le problème du placement des cubes et pas de leurs rotations possibles. tu as raison, c'est beaucoup moins simple (j'ai pris cela comme un problème d'anagramme)

Julien : mon raisonnement est faux (merci PIL)... excuse moi
re : Problème avec des cubes...#msg3159697#msg3159697 Posté le 21-09-10 à 07:47
Posté par Profilpierrecarre pierrecarre

Julien 007,

Les questions que tu posent font partie d'un concours où il n'y a pas de prix, sinon l'honneur d'y avoir apporter ses propres solutions.
Dès lors, je ne vois pas l'intérêt de demander les solutions sur un forum !
Si tu ne peux pas les résoudre par toi-même, il vaudrait mieux s'abstenir de participer.

r2.
re : Problème avec des cubes...#msg3159802#msg3159802 Posté le 21-09-10 à 11:47
Posté par Profiljulien007 julien007

Je suis d'accord avec toi pierrecarre mais je voudrais savoir les résoudre.
Malheureusement, je ne réussis pas tous les problèmes qu'on me pose et voilà, je suis intéressé par la recherche d'une solution (parfois de manière désespérée).
Et puis, déssolé, je suis nouveau sur ce site et pourquoi y a-t-il une rubrique concours, alors ?
re : Problème avec des cubes...#msg3159844#msg3159844 Posté le 21-09-10 à 13:08
Posté par Profilborneo borneo

Tu peux déjà faire une recherche, car ce type d'exo a déjà été posté, sous des formes diverses.

Cherche sous "petits cubes".
re : Problème avec des cubes...#msg3160057#msg3160057 Posté le 21-09-10 à 16:21
Posté par Profiljulien007 julien007

Désolé mais j'ai été voir, il n'y a aucun topic qui contient mon problème...
re : Problème avec des cubes...#msg3160079#msg3160079 Posté le 21-09-10 à 16:35
Posté par Profillafol lafol Moderateur

Bonjour
Citation :
pourquoi y a-t-il une rubrique concours,


pour répondre aux questions des gens qui se préparent à un concours (recrutement d'enseignants, entrée dans les grandes écoles ...)
re : Problème avec des cubes...#msg3160082#msg3160082 Posté le 21-09-10 à 16:37
Posté par Profillafol lafol Moderateur

bornéo : j'avais eu cet exercice à faire dans un DS en maths sup, après le cours sur les dénombrements....
re : Problème avec des cubes...#msg3160932#msg3160932 Posté le 21-09-10 à 20:44
Posté par Profiljulien007 julien007

Et pour les rotations des cubes, on calcule le nombre de faces noires divisé par le nombre 6 (nombre total de faces) ?
re : Problème avec des cubes...#msg3160964#msg3160964 Posté le 21-09-10 à 20:49
Posté par Profilborneo borneo

On ne peut pas prendre petit cube par petit cube et calculer à chaque fois la proba de tomber sur le bon ?
Long, mais pas difficile.  
re : Problème avec des cubes...#msg3160978#msg3160978 Posté le 21-09-10 à 20:53
Posté par Profiljulien007 julien007

Oui mais je ne vois pas comment on fait...


Et on élève le résultat à la puissance 27 ?
re : Problème avec des cubes...#msg3160990#msg3160990 Posté le 21-09-10 à 20:56
Posté par Profiljulien007 julien007

Enfin, je veux plutôt dire qu'on effectue un produit de 27 probabilités pas toutes égales ?
re : Problème avec des cubes...#msg3161002#msg3161002 Posté le 21-09-10 à 21:00
Posté par Profilborneo borneo

En fait, il ne suffit pas de mettre le "bon cube" à la bonne place, il faut encore le mettre dans la bonne position (pour les cubes asymétriques).

En fait, il n'y a que le cube tout blanc qui sera forcément dans la bonne position, s'il est posé au bon endroit.

Moi, si je devais résoudre ce problème, je ferais une maquette.  
re : Problème avec des cubes...#msg3161012#msg3161012 Posté le 21-09-10 à 21:05
Posté par Profiljulien007 julien007

re : Problème avec des cubes...#msg3161018#msg3161018 Posté le 21-09-10 à 21:07
Posté par Profilborneo borneo

julien007 je pense que l'intérêt de ce genre de problème n'est pas dans la réponse, mais dans ce que t'apprend la recherche de la solution.

Mon idée est de décider de l'ordre arbitraire dans lequel je vais remonter mon cube, et de tirer l'un après l'autre les petits cubes à l'aveugle d'une urne. A chaque tirage, je détermine la proba que mon petit cube soit au bon endroit et dans la bonne position. Je multiplie toutes ces probas. C'est la méthode "bourrin". La méthode experte, je ne la connais pas.

Aux "pros" de me dire si mon raisonnement tient la route.  
re : Problème avec des cubes...#msg3161026#msg3161026 Posté le 21-09-10 à 21:10
Posté par Profiljulien007 julien007

Oui, je pensais à ca justement mais c'est juste les rotations qui me posent problème...

Sinon, j'aurais résolu comme MM : en calculant le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles mais MM a aussi oublié les rotations...
re : Problème avec des cubes...#msg3161057#msg3161057 Posté le 21-09-10 à 21:20
Posté par Profilborneo borneo

Pour chaque petit cube, il y a une proba d'être dans la bonne position. A calculer...
re : Problème avec des cubes...#msg3161075#msg3161075 Posté le 21-09-10 à 21:25
Posté par Profiljulien007 julien007

Donc 8 * (6 choose 3) pour les cubes sommets et fois 8! pour les permutations
     6 * (6 choose 1) pour les cubes centraux et fois 6! pour les permutations
    12 * (6 choose 2) pour les cubes centres d'arêtes et fois 12! pour les permutations


???
re : Problème avec des cubes...#msg3161143#msg3161143 Posté le 21-09-10 à 21:43
Posté par ProfilPIL PIL

Bonsoir,

Halmos disait que lorsqu'un problème résiste, il faut essayer un problème du même genre mais plus simple. Je prends le cas d'un cube formé de 8 petits cubes, donc tous les petits cubes sont des coins du grand cube. Un petit cube peut être posé de 24 façons différentes : 6 choix pour la face au sol et 4 rotations qui conservent cette face au sol. Ce petit cube est un coin du grand cube : parmi les 24 possibilités il y en a 3 qui garantissent les faces noires à l'extérieur; donc la probabilité qu'un petit cube soit "bien placé" est 1/8. La probabilité que le grand cube soit noir est donc (1/8)8.
Qu'en pensez-vous ?  
re : Problème avec des cubes...#msg3161158#msg3161158 Posté le 21-09-10 à 21:46
Posté par Profiljulien007 julien007

Pourquoi on a 4 rotations qui conservent la face au sol ?
re : Problème avec des cubes...#msg3161160#msg3161160 Posté le 21-09-10 à 21:47
Posté par Profiljulien007 julien007

On fait tourner 4 fois pour citer ces rotations ?
re : Problème avec des cubes...#msg3161166#msg3161166 Posté le 21-09-10 à 21:49
Posté par Profiljulien007 julien007

Mais pour le 3x3x3, on doit tenir compte des autres "types" de cubes ?
re : Problème avec des cubes...#msg3161210#msg3161210 Posté le 21-09-10 à 22:03
Posté par ProfilPIL PIL

Pour tes deux premières questions, amuse toi avec un dé ...
Pour la troisième, c'est la difficulté; si tu te fixes une procédure de reconstruction du grand cube, tu dois déterminer les probabilités de tirer les petits cubes dans le bon ordre ( par exemple un coin, une arête, un coin, ...) et les probabilités de les poser correctement ...
re : Problème avec des cubes...#msg3161231#msg3161231 Posté le 21-09-10 à 22:13
Posté par Profiljulien007 julien007

Donc on a 1/27 la probabilité de placer un des 27 cubes dans une des 27 places du grand cube ?

Mais, je pense que je vais laisser tomber : vous n'y arrivez pas non plus je pense

Parce qu'il faut encore tenir compte du fait que le petit cube tiré parmi les 27 possède le bon nombre de faces noires et qu'il ait été placé à la bonne place parmi les 27 places disponibles : par ex pour un cube sommet, il faut 3 faces noires et qu'il soit un des 8 sommets, sinon impossible...

Je suis trop mort, ca fait une semaine que je cherche et j'en peux plus
re : Problème avec des cubes...#msg3161254#msg3161254 Posté le 21-09-10 à 22:22
Posté par Profilborneo borneo

Citation :
Donc on a 1/27 la probabilité de placer un des 27 cubes dans une des 27 places du grand cube ?


Ben non, car certains petits cubes sont présents en plusieurs exemplaires.

On a 8 cubes à 3 faces noires.

Donc au 1er tirage, on a 8/27 chances de tomber sur le bon.

Il reste à calculer la proba de bien le placer...
re : Problème avec des cubes...#msg3161259#msg3161259 Posté le 21-09-10 à 22:25
Posté par Profiljulien007 julien007

8 possibilités sur 27 => aussi 8/27 ?
re : Problème avec des cubes...#msg3161261#msg3161261 Posté le 21-09-10 à 22:25
Posté par Profiljulien007 julien007

et après on multiplie par 8 pour le nombre de cubes sommets ?
re : Problème avec des cubes...#msg3161270#msg3161270 Posté le 21-09-10 à 22:27
Posté par Profilborneo borneo

Je crois qu'on a eu ce genre de problème il y a quelques années, en énigme officielle.

Je m'étais aidée d'apéricubes

Problème avec des cubes...
re : Problème avec des cubes...#msg3161282#msg3161282 Posté le 21-09-10 à 22:33
Posté par Profiljulien007 julien007

Et attends, le raisonnement c'est pas du genre :

au 1e tirage, on a autant de chances de tirer un cube sommet et puis le placer
au 2e tirage, on a autant de chances de tirer un 2e cube sommet parmi les 26 restants et puis 1 des 7 places sommets restants
au 3e tirage,...

au 8e tirage,...

au 9e tirage, autant de chances de tirer un des 6 cubes centraux et puis le placer dans un des 6 endroits possibles ?

etc

???
re : Problème avec des cubes...#msg3161331#msg3161331 Posté le 21-09-10 à 22:48
Posté par Profilborneo borneo

Je te mets un lien vers un problème très similaire :

Bonne chance...  
re : Problème avec des cubes...#msg3161335#msg3161335 Posté le 21-09-10 à 22:50
Posté par ProfilMatheuxMatou MatheuxMatou

Bon, je re-tente un raisonnement et vous me direz ce que vous en pensez...

Pour constituer le cube complet, je dois décider d'un placement ordonné des 27 cubes, chacun ayant 24 positions possibles dans l'espace.

Admettons que je commence par mettre les 8 coins, puis les 12 centres d'arêtes, puis les 6 centres de faces pour finir par le cube central.

Pour le premier que je place, 27 possibilités pour le choisir et 24 pour le tourner.
Pour le deuxième : 26 pour le choisir et 24 pour le tourner
Pour le troisième : 25 pour le choisir puis 24 pour le tourner...

on comprend que j'ai en tout 27!.2427 possibilités pour arranger tous mes petits cubes (même si certaines de ces possibilités donnent le même résultat visuel je suis obligé de les distinguer pour une raison d'équiprobabilité... disons que chaque cube est un dé à face numérotée et noire ou blanche)

maintenant regardons celles qui nous donnent un gros cube à faces noires :

pour le premier coin, j'ai 8 possibilités pour le prendre parmi ceux à 3 faces noires et il y a 3 positions convenant parmi les 24 orientations possibles... pour le suivant 7 possibilités et 3 orientations convenant... etc
donc pour positionner correctement les coins, j'ai 8!.38 cas favorables

pour les centres d'arête, une fois le cube à 2 faces noires choisi, j'ai 2 orientations de ce cube qui conviennent... on comprend qu'il y a donc 12!.212 façons de choisir et bien positionner les 12 cubes centres d'arête.

pour les centre de face, une fois le cube choisi (à 1 face noire), il y a 4 orientations qui le positionnent correctement... donc 6!.46 façons de bien positionner les 6 cubes centres de face.

enfin pour le cube central, une seule façon de le choisir et 24 orientations possibles.

je dirais que la probabilité cherchée vaut

P = \frac {8!.3^8.12!.2^12.6!.4^6.1.24^1}{27!.24^27}

soit environ 2.10-37 ... (on s'attendait de toute façon à un résultat très faible !)

qu'en pensez-vous ?

mm
re : Problème avec des cubes...#msg3161342#msg3161342 Posté le 21-09-10 à 22:52
Posté par Profiljulien007 julien007

Ouf, sacré réflexion, j'attends confirmation des "pros"
re : Problème avec des cubes...#msg3161351#msg3161351 Posté le 21-09-10 à 22:54
Posté par ProfilMatheuxMatou MatheuxMatou

hou la la... j'ai oublié de mettre des accolades pour que mes puissances s'écrivent correctement !
je recommence :

4$ P = \frac{8!.3^8.12!.2^{12}.6!.4^6.1.24^1}{27!.24^{27}}

voilà, c'est mieux

mm
re : Problème avec des cubes...#msg3161361#msg3161361 Posté le 21-09-10 à 22:59
Posté par ProfilPIL PIL

Je propose qu'on reconstruise d'abord la couche du fond en posant 9 petits cubes dans l'ordre suivant :
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Le 1er est un coin: probabilité de tirer un coin : 8/27; probabilité de bien le placer : 1/8  (voir mon post de 21:43)
Le 2ème est une arête: probabilité de tirer une arête : 12/26 ; probabilité de bien la placer : 2/24 = 1/12;
etc
Tu passes ensuite à la 2ème couche puis à la 3ème.
re : Problème avec des cubes...#msg3161363#msg3161363 Posté le 21-09-10 à 22:59
Posté par Profilborneo borneo

Citation :
Ouf, sacré réflexion, j'attends confirmation des "pros"


MatheuxMatou est un "pro"  
re : Problème avec des cubes...#msg3161364#msg3161364 Posté le 21-09-10 à 23:00
Posté par Profiljulien007 julien007

Il a réussi ???!!!
re : Problème avec des cubes...#msg3161374#msg3161374 Posté le 21-09-10 à 23:03
Posté par ProfilMatheuxMatou MatheuxMatou

(merci Bornéo... mais bon, les "pros" se trompent aussi parfois ! surtout sur des trucs aussi piégeux, j'attends quand même confirmation d'autres "pros" pour être sûr...)
re : Problème avec des cubes...#msg3161377#msg3161377 Posté le 21-09-10 à 23:04
Posté par ProfilPIL PIL

J'arrive un peu tard !
MM, j'obtiens le même résultat que toi !
re : Problème avec des cubes...#msg3161381#msg3161381 Posté le 21-09-10 à 23:05
Posté par Profilborneo borneo

Tu as regardé mon lien de 22:48 ?

re : Problème avec des cubes...#msg3161386#msg3161386 Posté le 21-09-10 à 23:07
Posté par Profilborneo borneo

Il y avait eu beaucoup de s  

re : Problème avec des cubes...#msg3161396#msg3161396 Posté le 21-09-10 à 23:12
Posté par Profiljulien007 julien007

Et la merveille, c'est que j'obtiens en réessayant chez moi le même résultat !!!

Merci MM et à tous, je suis super content et heureux d'avoir animé ce forum
re : Problème avec des cubes...#msg3161398#msg3161398 Posté le 21-09-10 à 23:13
Posté par ProfilMatheuxMatou MatheuxMatou

non Bornéo, je n'ai pas regardé mais je vais aller jeter un oeil

PIL : oui, sans être rédigée pareil, l'amorce de ton raisonnement recolle parfaitement avec le mien.
re : Problème avec des cubes...#msg3161403#msg3161403 Posté le 21-09-10 à 23:16
Posté par ProfilMatheuxMatou MatheuxMatou

Bornéo : ah ben effectivement, c'était exactement ça ! me suis creusé les méninges pour rien !

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