bonjour
peux-tu nous présenter la figure?
merci

Voilà.

bonjour,
AD²=AC²+CD²
Or
AC²=AB²+BC²
Donc AD²=AC²+CD²=(AB²+BC²)+BC²=AB²+2BC²
On doit avoir AD<20

Sont-ce bien traduites les données de l'exo?

Bonjour Remi et Kenavo.
Kenavo : une distracionnt. AD² = AB²+BC²+CD²
On cherche les solutions avec AB, BC et CD premiers entre eux.
Un carré divisé par 4 donne 0 ou 1 comme reste. Une seul des trois dimensions doit être impaire.
Un carré divisé par 3 donne 0 ou 1 comme reste. Une seule dimension ou les trois ne sont pas divisibles par 3.
La différence entre la somme carrée et le carré impair est le produit de la somme et de la différences de leurs racines carrées respectives, donc le produit d'un nombre divisible par 4 et d'un nombre divisé par 2. Soit les deux dimensions paires, soit aucune n'est divisible par 4.

Si les deux dimensions paires sont divisibles par 3 :
18 et 18 : diagonale trop grande
18 et 6 : la troisième dimension est 1
12 et 12 : la troisième dimension est 1
6 et 6 : 72 = 2*36; troisième dimension = 17; 72 = 4*18 -> troisième dimension 7; la solution qui en découle, 12, 12 et 14 donne un résultat trop grand; 72 = 6*12; 72 = 12*6; la troisième dimension est 3; mais les trois dimensions ne sont pas premières entre elles.

Si une seule des deux dimensions paires est divisibles par 3.
18 et 14 : diagonale trop grande
18 et 10 : diagonale trop grande
18 et 2 : 328 = 164*2 = 82*4; les deux cas donnent une troisième dimension trop grande
12 et 16 : résultat trop grand
12 et 8 : 208 = 2*104 = 4*52( troisième dimension trop grande) = 8*26; troisième dimension = 9
6 et 14 : 232 = 2*116 = 4*58(troisième dimension trop grande)
6 et 10 : 136 = 2*68 (troisième dimension trop grande) = 4*34; troisième dimension = 15
6 et 2 : 40 = 2*20; troisième dimension = 9; 40 = 4*10; troisième dimension = 3

Si aucune des deux dimensions paires n'est divisible par 3
16 et 16 : diagonale trop grande
16 et 8 : 320 = 2*160 = 4*80 = 8*40 (troisième dimension trop grande) = 10*32 (troisième dimension = 11, mais diagonale trop grande) = 16*20 (les trois dimensions ne sont pas premièes entre elles)
16 et 4 : 272 = 2*136 = 4*68 (troisième dimension trop grande) = 8*34 (troisième dimension = 13, mais diagonale trop grande)
14 et 14 : diagonale trop grande
14 et 10 : 296 = 2*148 = 4*74 (troisième dimension trop grande)
14 et 2 : 200 = 2*100 = 4*50 (troisième dimension trop grande) = 10*20; troisième dimension = 5
10 et 10 : comme avec 14 et 2; mais avec 5, les trois dimensions ne sont pas premières entre elles
10 et 2 : 104 = 2*52 (troisième dimension trop grande) = 4*26; troisième dimension = 11
8 et 8 : 128 = 2*64 (troisième dimension trop grande) = 4*32 = 8*16 (les trois dimensions ne sont pas premières entre elles)
8 et 4 : 80 = 2*40 (troisième solution trop grande) = 4*20 (les trois dimensions ne sont pas premières entre elles) et 8*10; troisième dimension = 1
4 et 4 : 32 = 2*16; troisième solution = 7; 32 = 4*8 (les trois dimensions ne sont pas premières entre elles)
2 et 2 : 8 = 2*4: troisième dimension = 1

Récapitulation
Les trois dimensions et la diagonale.
18 6 1 19
12 12 1 17
6 6 17 19
6 6 7 11
12 8 9 17
6 10 15 19
6 2 9 11
6 2 3 7 et donc 12 4 6 14
14 2 5 15
10 2 11 15
8 4 1 9 et donc 16 8 2 18
4 4 7 9 et donc 8 8 14 18
2 2 1 3 et donc 4 4 2 6 et 6 6 3 9 et 8 8 4 12 et 10 10 5 15 et 12 12 6 18

Merci beaucoup !