Niveau Licence Maths 1e ann

demonstration d'une equivalence

Posté par
mathmoh 30-10-10 à 14:35

bonjour ,j'ai un problème pour résoudre cet exercice:

soit E un ensemble et A,B,D DES PARTIES DE E MONTRER QUE:

A∩ Complémentaire de B DANS E = A∩ Complémentaire de D dans E c'est équivalent à: A∩ B = A∩ D
MERCI

Posté par Démonstration d'une équivalence 30-10-10 à 15:13

Bonjour,
On peut démontrer cela en manipulant les ensembles, voici une preuve par élément et appartenance.
$P1\Longrightarrow P2$
$x\in A\cap B\Longrightarrow x\in A et x\in B\Longrightarrow x\notin A\cap \bar{B}$ donc
$x\notin A\cap \bar{D}\Longrightarrow x \notin \bar{D}$ car $x\in A$
donc $x\in D$ et ainsi $x\in A\cap D$
Même chose pour l'inclusion dans l'autre sens.

Puis travail similaire pour $P2\Longrightarrow P1$

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