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integration par partie

Posté par shoulz (invité) 27-04-05 à 21:23

Bonsoir,

Volia le probleme ou je bloque:

on me dit:

soit x, element de [1,2]
soit h, une fonction definie et au moins deux fois derivable sur [1,2] verifiant h(1)=0

on a f(x)=(4/pi)xh(x) - (4/pi)h(x)

on me dis que pour tout x element de [1,2] on a:
f'(x)=(4/pi)h(x) + (1/pi)[(8x²-16x+8)/(1+(x-1)[sup][/sup]4)]

Sachant que(1a2) f(x) dx=(1/2)-((ln2)/pi)
En deduire une valeur exacte de f(2)?

j'ai ecrit f(x) de la facon suivante:
f(x)=(4/pi)h(x)(x-1)

Pour l'integration par partie j'ai utilisé les 2 fonctions suivante:
f=h(x) donc f'=h'(x)
g'=x-1 donc g=(x²-2x)/2

j'en arrive a la solution suivante ou je bloque:
(1a2) f(x) dx = (-2/pi)(1a2)h'(x)(x²-2x)dx

Je ne vois pas ou utiliser les informations données au debut, si bien sure je ne me suis pas trompé...

MERCI pour toute l'aide que quelqu'un pourrait m'apporter...

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 21:27

salut
petite confirmation :
tu dis :
"sachant que integrale(1 a 2)f(x).dx = (1/2) - ln(2)/Pi

c'est bien f dans l'integrale ? ne serait ce pas plutot f' ?

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 21:29

je confirme que c'est f

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 21:43

deuxieme confirmation : au denominateur de f' c'est 1+(x-1)^4 ?

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 21:44

oui je confirme...

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 21:56

alors voila ou j'arrive :

comme f(x)=(x-1)*4*h(x)/Pi => f'(x)= (4/Pi)*[h(x)+(x-1)*h'(x)]

et que f'(x)=4*h(x)/Pi +(1/Pi)*[8x²-16x+8]/(1+(x-1)^4 )

on a h'(x)=2*(x-1)/(1+(x-1)^4)

donc h(x) = (1/2)*ln( 1 +(x-1)^4) )

et donc h(2) = (1/2) * ln(2)

de h(2) on en deduit f(2).

par contre dans l'hypothese ou ce raisonnement est juste, je ne pense pas c'est le raisonnement demande par l'exo.

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 21:57

argh non c'est tout faux je me suis plante c'est pas bon.
h(x) n'est pas egal a ce que j'ai marque...
ne pas considerer le precedent message.

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 21:59

ok...

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 22:37

desole je ne vois pas.
pas d'autres precisions dans l'enonce ?

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 22:39

eh bien non...mais surtout cela ne concerne que la premiere partie d'un probleme...

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 22:41

Merci quand meme minotaure

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 22:46

bah la desole par contre j'aurais bien aime l'enonce complet s.t.p.
peux tu l'envoyer a l'adresse de mon profil ?

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 22:56

ok je t'envoie un scan...

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 22:56

merci

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 23:16

desole je ne vois vraiement pas.

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 27-04-05 à 23:22

ok c'est pas grave...(c'est une annale d'un concours que je vais bientot passer ...ca rassure :D)

Merci minotaure pour ta patience...

Posté par
muriel Correcteurre : integration par partie 28-04-05 à 00:17

bonsoir ,
je n'ai pas fini tout mes calculs, mais j'avais une idée, essayes d'intégrer par parite ceci
\int_1^2f(x)dx
vous aller avoir:
\int_1^2\;f(x)dx\;=\;2f(2)-\int_1^2\;xf'(x)dx
ensuite,
inséres f'(x)=(4/pi)h(x) + (1/pi)[(8x²-16x+8)/(1+(x-1)4)]
(au passage le 4, il est à la puissance? vu qu'il est à la fin)
et tu sais que \frac{4}{\pi}xh(x)=f(x)+\frac{4}{\pi}h(x)
donc
3$\int_1^2\;f(x)dx\;=\;2f(2)-\int_1^2\;f(x)dx-\frac{4}{\pi}\int_1^2\;h(x)dx-\int_1^2\;\frac{x(8x^2-16x+8}{\pi(1+(x-1)4}dx

ensuite, \frac{4}{\pi}h(x)=f'(x)- \frac{1}{\pi}.\frac{8x²-16x+8}{1+(x-1)4}

je te laisses faire la suite,
il y a juste le problème de \frac{(1-x)(8x^2-16x+8}{\pi(1+(x-1)4}dx à voir

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 00:26

ok je te remercie...je vais regarder tes calculs...

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 00:29

ouahhhhhhh...muriel....je crois que je vais avoir du mal a comprendre...apres trois lecture je n'arrive pas a comprendre ta premiere phrase "integrer par parite???"

Posté par
muriel Correcteurre : integration par partie 28-04-05 à 00:41

c'est intégrer par partie (inversion de deux lettre)
tu intègres 1 et tu dérives f
d'où
3$\int_1^2f(x)dx\;=\;[xf(x)]_1^2-\int_1^2xf'(x)dx

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 00:42

euh d'accord...

Posté par
muriel Correcteurre : integration par partie 28-04-05 à 00:45

pas de problème

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 00:47

Je te remercie pour cette explication Muriel...je vais méditer cela cette nuit... m e r c i +++++++++

Posté par
muriel Correcteurre : integration par partie 28-04-05 à 00:51

et oui, ce n'est pas fini, peut-être que quelques chose va coincer après, à suivre
bonne soirée

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 12:50

alors pour me faire pardonner, je vais essayer de poursuivre ce qu'a fait Muriel (que je remercie au passage car elle m'enleve une belle epine de la patte (hum du pied je veux dire) :

f(1)=0 car h(1)=0

A=\int_1^{2} f(x).dx

par integration par parties :

u(x) = f(x) => u'(x) = f'(x)
v'(x) = 1  <=  v(x) = x

donc A=2 \times f(2) - \int_1^{2} x \times f'(x).dx (1)

f'(x)=\frac{4 \times h(x)}{\pi} + \frac{8 \times (x-1)^{2}}{\pi \times (1+(x-1)^{4}}

ce qui donne

x \times f'(x)=\frac{4 \times x \times h(x)}{\pi} + \frac{8 \times x \times (x-1)^{2}}{\pi \times (1+(x-1)^{4}} (2)

or
comme f(x) = \frac{4 \times x \times h(x)}{\pi} - \frac{4 \times h(x)}{\pi}   
on a :
\frac{4 \times x \times h(x)}{\pi} = f(x) + \frac{4 \times h(x)}{\pi}

et on sait que \frac{4 \times h(x)}{\pi} = f'(x) - \frac{8 \times (x-1)^{2}}{\pi \times (1+(x-1)^{4}}
(ca vient de f'(x)=\frac{4 \times h(x)}{\pi} + \frac{8 \times (x-1)^{2}}{\pi \times (1+(x-1)^{4}} )

donc \frac{4 \times x \times h(x)}{\pi} = f(x) + f'(x) -  \frac{8 \times (x-1)^{2}}{\pi \times (1+(x-1)^{4}} (3)

et on a a partir de (2) et de (3) :
x \times f'(x) = f(x) + f'(x) +  \frac{8 \times (x-1)^{3}}{\pi \times (1+(x-1)^{4}}

donc, en utilisant ce resultat dans (1) :
A = 2 \times f(2) - \int_1^{2} [ f(x) + f'(x) +  \frac{8 \times (x-1)^{3}}{\pi \times (1+(x-1)^{4}} ]. dx  

par linearite de l'integrale :

A = 2*f(2) - A - f(2) - \frac{2}{\pi} \times \int_1^{2} \frac{4 \times (x-1)^{3}}{\times (1+(x-1)^{4}} . dx

A = f(2) - A - \frac{2}{\pi} \times ln(2)
car une primitive de x-> \frac{4 \times (x-1)^{3}}{\times (1+(x-1)^{4}} sur [1,2] est x->ln(1 + (x-1)^{4})

donc f(2)= 2*A + \frac{2}{\pi} \times ln(2)

comme A=\frac{1}{2}- \frac{ln(2)}{\pi}

et donc f(2)=1

voila j'espere ne pas avoir fait trop de betises.
j'invite tout le monde a verifier ceci car le latex et moi ca fait deux, en n'oubliant pas que tout le merite vient a Muriel.
a+

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 12:57

ah bah oui y'a un signe \times qui n'a rien a faire dans les dernieres lignes (apres "par linearite de l'integrale")

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 13:00

M E R C I pour ce superbe developpement...belle maitrise du latex!
Je vais essayer de refaire tout ces calculs...mais je trouve que ce probleme reste vicieux...

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 13:03

moi aussi je trouve.
l'ecole nationale de la meteorologie, ca ne rigole pas.
bonne chance pour ton concours.

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 13:22

tu dois etre devin pour savoir mon concours...

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 13:37

comme je l'ai deja dis, dans ce post je n'ai aucun merite : le devin s'appelle google.
{url]http://meteophil.free.fr/annales/maths/annales2003TSEmaths.pdf[/url]
ou encore :


malheureusement il n'y avait que l'enonce pas le corrige.

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 13:37

ce sera mieux comme ca :

ou encore :


Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 13:39

voila le lien par google :

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 13:50

pas mal...vive "google" alors

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 13:56

je dois dire que j'ai un petit peu de mal pour ta primitive de:
4(x-1)[/sup]3 / (1+(x-1)[sup]4)

un petit peu plus de detail serait le bienvenue...merci

Posté par minotaure (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 14:26

soit u(x) = 1+(x-1)^{4}

u'(x)=4 \times (x-1)^{3}

donc \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{4 \times (x-1)^{3}}{1+(x-1)^{4}}

or une primitive de x-> \frac{u'(x)}{u(x)} sur [1,2] est x-> ln(|u(x)|) = ln(| 1+(x-1)^{4}|)
comme on est sur [1,2] , 1+(x-1)^{4} \ge 0
donc on arrive a x-> ln( 1+(x-1)^{4} )

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 28-04-05 à 14:44

Ok j'y vois plus claire....merci!

Posté par
muriel Correcteurre : integration par partie 28-04-05 à 19:31

re ,
merci minotaure
mais tu as le mérite d'avoir fait toute la question, car moi et les calcules
(surtout pour les fautes d'étourderies )

pour ce qui est de 'ce probleme reste vicieux'
je ne l'ai pas vu ainsi, car je l'ai trouvé directement (sans vouloir me la péter )
non, je pense que il faut avoir du recule face aux informations, et puis avoir l'habitude de passer des concours aussi, un peu )

ciao

Posté par shoulz (invité)re : integration par partie 29-04-05 à 08:10

Je tiens a te remercier muriel pour ton aide a cet exo.

Pour info cette question a ete annule par le jury lors de la correction, car personne n'etait arrive a la faire...

je crois qu'il fallait de grosse base en maths (style prof) pour y arriver en un temps bien definie...

Posté par
muriel Correcteurre : integration par partie 29-04-05 à 11:06

de rien
je crois qu'il fallait de grosse base en maths (style prof) pour y arriver en un temps bien definie
je ne crois pas shoulz, mais bon, chacun son idée

à la prochaine


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