bonjour
voici un autre petit exercice :
Soit A une matrice telle que An=0 et B= I+A+A²+...A n-1
1)B est-elle inversible ? Calculer son inverse .
je me demande si je peux déduire de la définition de A qu'elle est nilpotente , même si A^(n-1) différent de zéro n'est pas précisé .
En appliquant la méthode habituelle , je ne trouve pas :
B-(A+A²+...A n-1)= I , je n'arrive à rien
mais si je fais A-1 B = IA^(-1)+ AA^(-1) + A²A^(-1)+...A n-1A =A^(-1)+I+A+...A^(n-2) , bon je n'y parviens pas non plus . Une petite piste ?
2)Montrer qu'il existe un seul polynôme de degré inférieur ou égal à 5 tel que P+P'+...P(5) =X5
là aussi, besoin d'un petit indice .
merci
Pour la question 1), cela vient d'une formule très importante en maths, qui est utile dans de nombreuses situations : . En remplaçant, x par ta matrice A, tu vas trouver.
Bonjour,
Pour le 1), inspire toi de la série géométrique en écrivant que B(Id-A) = (Id-A)B = Id - A^n = Id ==> B est inversible, d'inverse Id-A.
2) Écris la matrice associée à ce polynôme.
ok ,alors :
1)je ne connaissais pas cette formule ... merci .
2)le polynôme est de degé inférieur ou égal à 5 donc j'écris la matrice dans la base 1 X X3 X4 X5
problème : je ne sais pas ce qu'est P , donc combien de X pour P , pour P' etc ...
On considère la base canonique de : . Dans cette base un polynôme est un vecteur de coordonnées .
On a alors donc a pour coordonnées .
Détermine la matrice A, telle que
Ou sinon, on peut également résoudre l'exercice intelligemment et utiliser le 1) pour prouver le 2).
On se place dans K_5[X], et on considère l'opérateur dérivée D. Alors D^6 = 0. Conclusion ? ...
Sans blague Ulusse ? Il faut utiliser le 1 ? pas possible ?!
Si tu avais lu ce qui est écris au dessus Ulusse tu aurais vu qu'il s'agit justement de ce que l'on propose tous gros malin.
On ne dirait pas. La question est de prouver une existence (et unicité). Il n'y a pas besoin d'exprimer quoi que ce soit dans quelque base que ce soit, c'est même dommageable.
On a l'expression de l'inverse de I +D +D^2 + ... + D^5, à savoir I - D, ce qui suffit à démontrer l'existence et unicité de P.
Si on veut absolument le calculer, il n'y a pas besoin de passer par une base, et il suffit d'inverser notre formule et d'appliquer I-D à X^5, ce qui donne immédiatement X^5 - 5X^4
Après évidemment on peut se compliquer la vie, écrire tout ça dans une base et poser des matrices, mais c'est non seulement plus compliqué, mais inutile.
La matrice que je lui propose de trouver est justement la matrice de dérivation que tu appelles peu judicieusement . Pour quelqu'un qui ne l'a jamais rencontrée il faut évidemment en passer par là pour la découvrir.
En plus tu viens de lui donner le développement qu'il aurait pu trouver seul après les indicaions données. Quel intérêt pour lui ? La pédagogie n'a pas l'air d'être ton fort.
Ta façon de rentre sur ce topic avec tes gros sabots et ton manque d'humilité, m'a quelque peu échauffé.
bonjour ,
merci pour vos réponses , ne pas s'énerver .
Je trouve pour la matrice A ceci :
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 0 5
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