Niveau école ingénieur

quartile

Posté par
memoir 11-01-12 à 20:53

Bonsoir tout le monde
J'ai un petite question qui peut paraître un peu banal : soit la série statistique :
Modalité     3.9    4   4.1   4.2    4.3   4.4    4.5    4.6  4.7   4.8   4.9  5
Effectif        1       2     1     3       4        2       2      3      2      1       2    1
Je coince dans la détermination de la troisième quartile est ce que c'est 4.7  ou bien( 4.7+4.8)\2
Merci infiniment

Posté par re : quartile 11-01-12 à 21:49

bonsoir
l'effectif N est pair
la médiane c'est $\frac{x_{12}+x_{13}}{2}=\frac{4,4+4,4}{2}=4,4$
pour $Q_3$ il me semble que c'est plutôt $\frac{4,6+4,7}{2}$ il y a 6 valeurs supérieures soit $\frac{N}{4}$ et 18 valeurs inférieures soit $\frac{3N}{4}$

Posté par re : quartile 26-01-12 à 23:08

C'est loin d'être une question banale. Ce qui suit est pratiquement tiré de l'aticle "Quantile" de Wikipedia.

Définition :
Un p-quantile (p=3/4 pour le 3ème quartile, par exemple) de la distribution de la valeur aléatoire X peut être défini comme une valeur   $Q_p$   telle que :
               $P(X\leq Q_p)\geq p\text{  et  }P(X\geq Q_p)\geq 1-p$ .
Autrement dit, un p-quantile   $Q_p$   est une valeur de X telle que la proportion p (au moins) de la population soit inférieure ou égale à   $Q_p$ , et que le complément (1-p, au moins) soit supérieur ou égal à   $Q_p$ .

Calcul des quantiles :

$\bullet$   Pour une loi théorique continue, le p-quantile est la valeur de la variable où la fonction de répartition vaut p.
    Pour une loi théorique discrète, le p-quantile est la première valeur de la variable où la fonction de répartition atteint ou dépasse p.

$\bullet$   Pour un échantillon pris au hasard dans une population où la variable peut varier quasi-continûment, il existe différentes méthodes pour estimer les quantiles :

Soit   $N$   le nombre d'individus de l'échantillon, et soit   $x_1,x_2,\ldots,x_N$   les valeurs de X pour ces individus, ordonnées de façon que   $x_1$   est la plus petite valeur, ... etc. :

1) Première méthode : "Fonction de distribution empirique" :
     $Q_p\,=\,\left\{\begin{array}{cl}x_j & \text{si }w=0\\ x_{j+1} & \text{si }w>0\end{array}\right$   ,  où   $j$   est la partie entière et   $w$   la partie fractionnaire de   $N.p$

2) Deuxième méthode : "Fonction de distribution empirique avec mise à la moyenne" :
     $Q_p\,=\,\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{2}(x_j+x_{j+1}) & \text{si }w=0\\ x_{j+1} & \text{si }w>0\end{array}\right$   ,  où   $j$   est la partie entière et   $w$   la partie fractionnaire de   $N.p$

3) Troisième méthode : "Moyenne pondérée" :
     $Q_p\,=\,x_{j+1}\,+\,w.(x_{j+2}-x_{j+1})$   ,  où   $j$   est la partie entière et   $w$   la partie fractionnaire de   $(N-1).p$
    Cette méthode est utilisée, par exemple, pour le calcul des quantiles de Microsoft Excel (fonctions CENTILE, QUARTILE, MEDIANE).

4) Quatrième méthode : "Echantillon de numéro le plus proche de   $\small(N-1).p+1$ " :
     $Q_p\,=\,\left\{\begin{array}{cl}x_j & \text{si }w<0,5\\ x_{j+1} & \text{si }w\geq0,5\end{array}\right$   ,  où   $j$   est la partie entière et   $w$   la partie fractionnaire de   $(N-1).p+1$

Illustrons sur un exemple le résultat produit par chacune de ces méthodes.
Si l'on s'intéresse au premier quartile   $\small Q_{1/4}$ , donc à   $\small p=\dfrac14=0,25$ , et à la série de données   $\small(1;11;15;19;20;24;28;34;37;47;50;57)$ , on a   $\small N=12$ . Alors :

1) "Fonction de distribution empirique" :   $\small N.p=3\ ,\ j=3\ ,\ w=0$     :     $\red \boxed{Q_{1/4}\,=\,x_3\,=\,15}$

2) "Fonction de distribution empirique avec mise à la moyenne" :   $\small N.p=3\ ,\ j=3\ ,\ w=0$     :   $\red \boxed{Q_{1/4}\,=\,\frac12(x_3+x_4)\,=\,17}$

3) "Moyenne pondérée" :   $\small (N-1).p=2,75\ ,\ j=2\ ,\ w=0,75$     :   $\small Q_{1/4}\,=\,x_3+0,75(x_4-x_3)\,=\,0,25x_3+0,75x_4$    soit   $\red \boxed{Q_{1/4}\,=\,\frac14(x_3+3x_4)\,=\,18}$

4) "Echantillon de numéro le plus proche de $\small (N-1).p+1$ "  :   $\small (N-1)\cdot p+1=3,75\ ,\ j=3\ ,\ w=0,75\geq0,5$     :   $\red\boxed{Q_{1/4}\,=\,x_4\,=\,19}$

Je pense que les deux plus fréquemment utilisées dans l'enseignement sont les deux premières, qui ne diffèrent que quand N.p est entier.

Je n'aborde pas ici le cas où l'échantillon (ou une population finie) est définie par un histogramme sur des classes de valeur de la variable.

Posté par re : quartile 26-01-12 à 23:33

salut

une médiane est toute valeur qui partage un échantillon en deux ... (on notera les termes "une" et "toute")

on remarquera que lorque l'échantillon est discret et d'effectif impair alors c'est le terme du "milieu" (et il y a unicité) quand les valeurs sont rangées dans l'ordre

on remarquera que parfois on voit ".... toute valeur du caractère .... " mais lorque l"effectif est pair que fait-on .....

pour les quartiles on a sorti différentes formules qui puisse se programmer aisément ..... afin que les élèves puissent s'amuser avec leur machine .... tout en essayant de conserver une certaine cohérence entre les différentes définition ....

un quartile est une médiane de demi-échantillon .....

Posté par re : quartile 26-01-12 à 23:35

lorque la série est 1 - 2 - 3 - 4 alors tout réel de [2,3] est médiane .... _{^{je rapelle que 2 est inférieur à 2 et n'est pas inférieur strictement à 2}}