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Inéquation


secondeInéquation

#msg4131520#msg4131520 Posté le 13-04-12 à 21:35
Posté par ProfilThiib Thiib

Bonjour a toute et a tous,

Je suis actuellement en seconde et mon professeur m'a donné un exercice maison. La question qui me pose problème est simple mais je bloque ..

Résoudre : x² - 20x - 400 < 0
C'est une inéquation polynome de degré 2 mais je n'arrive pas a la faire.

Pourriez-vous m'aider a la résoudre et aussi m'apporter une aide/méthode si je recroise un calcul de ce type.
re : Inéquation#msg4131569#msg4131569 Posté le 13-04-12 à 22:13
Posté par ProfilPriam Priam

As-tu cherché les racines du trinôme ?
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re : Inéquation#msg4134098#msg4134098 Posté le 15-04-12 à 16:04
Posté par ProfilThiib Thiib

Euh .. Non.
Comment dois-je procéder ?
re : Inéquation#msg4134109#msg4134109 Posté le 15-04-12 à 16:07
Posté par ProfilThiib Thiib

x - √20x - 20 < 0
re : Inéquation#msg4134377#msg4134377 Posté le 15-04-12 à 17:39
Posté par ProfilPriam Priam

Non car la racine carrée de  (a² + b²)  n'est pas  (a + b) !
Tu n'as pas étudié les trinômes du second degré ? Le discriminant ? La forme canonique d'un trinôme ?
re : Inéquation#msg4135344#msg4135344 Posté le 16-04-12 à 10:31
Posté par ProfilThiib Thiib

J'ai seulement étudié la forme canonique d'un trinôme de la forme
f(x)= a( x - alpha ) + beta
re : Inéquation#msg4135347#msg4135347 Posté le 16-04-12 à 10:32
Posté par ProfilThiib Thiib

f(x)= a( x - alpha )² + beta
re : Inéquation#msg4135359#msg4135359 Posté le 16-04-12 à 10:40
Posté par ProfilThiib Thiib

Pour notre calcul, cela ferait :

x2 - 20x - 400
f(x) = a( x - alpha )² + beta
f(x) = 1( x² - 2*alpha*x + alpha² ) + beta
f(x) = ( x² - 2*10*x + 10² ) - 500
f(x) = ( x² - 20x + 100 ) - 500
f(x) = x² - 20x - 400 ?
re : Inéquation#msg4135362#msg4135362 Posté le 16-04-12 à 10:42
Posté par ProfilThiib Thiib

Forme canonique :

f(x) = ( x - 10 ) + 500
re : Inéquation#msg4135367#msg4135367 Posté le 16-04-12 à 10:44
Posté par ProfilThiib Thiib

f(x) = ( x - 10 )² - 500
re : Inéquation#msg4135374#msg4135374 Posté le 16-04-12 à 10:47
Posté par ProfilPriam Priam

Exact. Maintenant, tu peux factoriser f(x).
re : Inéquation#msg4135386#msg4135386 Posté le 16-04-12 à 10:52
Posté par ProfilThiib Thiib

Donc on a trouvé la forme canonique mais comment répondre a la question suivante :

Résoudre l'inéquation :
x² - 20x - 400 < 0 (ou égale)

Soit :
(x - 10)² - 500 < 0 (ou égale)
(x - 10)(x + 10) - 500 < 0 (ou égale)
(x - 10 - √500)(x + 10 + √500) < 0
(x - 10 - √500) = 0 ou (x + 10 + √500) = 0

Et ensuite, on fait le tableau de signe ?
re : Inéquation#msg4135418#msg4135418 Posté le 16-04-12 à 11:01
Posté par ProfilPriam Priam

Oui.
Note que   10 500 peut s'écrire  10(1 5) .
re : Inéquation#msg4137396#msg4137396 Posté le 17-04-12 à 11:32
Posté par ProfilThiib Thiib

Voilà, donc j'ai continué mon exercice sans problème jusqu'au moment où on me dit :

Résoudre algébriquement le problème.
Voici le problème :

Soit x un réel strictement supérieur à 20.
On dispose de deux cuves :
_ la première est un cube de coté x cm
_ la deuxième est un pavé doit à base carrée, dont le coté mesure 20 cm de plus que celui du cube ( x + 20 ), sa hauteur mesure 20 cm de moins que celle du cube ( x - 20 ).

On souhaite détreminer les valeurs de x de facon que la cuve cubique ait le volume le plus grand.
Comment faire ?
re : Inéquation#msg4137524#msg4137524 Posté le 17-04-12 à 12:26
Posté par ProfilPriam Priam

Exprime en fonction de  x   le volume de chaque cuve, puis écris l'inéquation traduisant le souhait de l'énoncé.
re : Inéquation#msg4139054#msg4139054 Posté le 17-04-12 à 23:53
Posté par ProfilThiib Thiib

x * x * x ( x au cube ) < ( x + 20 )²( x - 20 )
re : Inéquation#msg4139115#msg4139115 Posté le 18-04-12 à 08:43
Posté par ProfilPriam Priam

Maintenant, développe le second membre et simplifie.
re : Inéquation#msg4139308#msg4139308 Posté le 18-04-12 à 11:48
Posté par ProfilThiib Thiib

x * x * x < (x² + 40x + 400)( x - 20 )
x * x * x < x (au cube) - 20x² + 41x - 800x + 400x - 8000
x * x * x < x(aucube) - 20x² - 359x - 8000

Hum ... J'ai du me tromper, ca m'a l'air un peu énorme..
re : Inéquation#msg4139397#msg4139397 Posté le 18-04-12 à 12:35
Posté par ProfilPriam Priam

41x  ???
re : Inéquation#msg4139927#msg4139927 Posté le 18-04-12 à 15:43
Posté par ProfilThiib Thiib

x * x * x < (x² + 40x + 400)( x - 20 )
x * x * x < x (au cube) - 20x² + 41x² - 800x + 400x - 8000
x * x * x < x (aucube) - 21x² - 359x - 8000
re : Inéquation#msg4140014#msg4140014 Posté le 18-04-12 à 16:04
Posté par ProfilPriam Priam

Mais d'où sort ce 41x ou 41x² ?  40x*x = 40x².
re : Inéquation#msg4140030#msg4140030 Posté le 18-04-12 à 16:10
Posté par ProfilThiib Thiib

Ah oui --' Juste que je me suis trompé en écrivant..

Donc : x * x * x < x (au cube) - 20x² + 40x² - 800x + 400x - 8000
       x * x * x < x (aucube) - 20x² - 400x - 8000
re : Inéquation#msg4140112#msg4140112 Posté le 18-04-12 à 16:28
Posté par ProfilPriam Priam

Corrige l'erreur de signe de la dernière ligne et simplifie-la.
re : Inéquation#msg4140140#msg4140140 Posté le 18-04-12 à 16:34
Posté par ProfilThiib Thiib

x * x * x < x (aucube ) + 20x² - 400x - 8000
Et ...
re : Inéquation#msg4140151#msg4140151 Posté le 18-04-12 à 16:39
Posté par ProfilPriam Priam

Mais x*x*x , n'est-ce pas la même chose que  x³ ?
re : Inéquation#msg4140370#msg4140370 Posté le 18-04-12 à 17:36
Posté par ProfilThiib Thiib

Ben si mais je le sais déjà ca.
J'aurais pu mettre x * x * x (aucube) en fait.
re : Inéquation#msg4140640#msg4140640 Posté le 18-04-12 à 18:50
Posté par ProfilThiib Thiib

Donc x^3 < x^3 + 20x² - 400x - 8000
re : Inéquation#msg4140829#msg4140829 Posté le 18-04-12 à 19:38
Posté par ProfilPriam Priam

Alors, retranche x³ de chaque membre de l'inéquation.
re : Inéquation#msg4141709#msg4141709 Posté le 19-04-12 à 12:25
Posté par ProfilThiib Thiib

x^3 - x^3 - 20x² + 400x + 8000 = 0
-20x² + 400x + 8000 = 0
-20x² + 400x = -8000
-20x + 20x = -√8000 ??

J'ai essayé de supprimer ce carré qui m'empeche de continuer sinon.
Pour cela, j'ai fais la racine carré de 400 et la racine de 8000.
re : Inéquation#msg4141712#msg4141712 Posté le 19-04-12 à 12:26
Posté par ProfilThiib Thiib

0 = -√8000
Mais où est le x..
re : Inéquation#msg4141736#msg4141736 Posté le 19-04-12 à 12:40
Posté par ProfilPriam Priam

2ème ligne : exact. Le reste est fantaisiste.
L'inéquation devient donc  - 20x² + 400x + 8000 > 0 .
Simplifie d'abord par 20, puis constate qu'il s'agit d'étudier le signe d'un trinôme du second degré qui est le même, au signe près, que celui du début.
re : Inéquation#msg4141954#msg4141954 Posté le 19-04-12 à 13:59
Posté par ProfilThiib Thiib

Donc si l'on simplifie par 20, voilà ce que ca donne :

-x² + 20x + 400 > 0
Euh .. Oui, les signes sont inversés par rapport a l'inéquation de base.

Et ensuite, que dois-je faire ?
re : Inéquation#msg4142102#msg4142102 Posté le 19-04-12 à 14:44
Posté par ProfilPriam Priam

Cette inéquation, tu l'as déjà résolue à 10h52. Il ne manque que le ou les intervalles où doit se situer  x  pour que l'inéquation soit satisfaite.
re : Inéquation#msg4142273#msg4142273 Posté le 19-04-12 à 15:29
Posté par ProfilThiib Thiib

Ah  ben oui ! car
-x² + 20x + 400 > 0 c'est la même chose que  
x² - 20x - 400 < 0

Donc, j'ai fait mon tableau de signe sur ma feuille et j'ai trouvé :

S = ] -10 - √500 ; 10 + √500 [

Pour faire ce tableau, j'ai dis que x² - 20 - 400 = ( x - 10 )² - 500 ( c'est la fonction cannonique )
re : Inéquation#msg4142368#msg4142368 Posté le 19-04-12 à 15:56
Posté par ProfilThiib Thiib

J'ai juste une petite question :

Pourquoi est ce que cela devient :
-x² + 20x + 400 > 0 et pas -x² + 20x + 400 = 0 ?
re : Inéquation#msg4142487#msg4142487 Posté le 19-04-12 à 16:33
Posté par ProfilPriam Priam

C'est bien d'une inéquation qu'il s'agit, à résoudre pour répondre à la question de 11h32.
re : Inéquation#msg4142708#msg4142708 Posté le 19-04-12 à 17:36
Posté par ProfilThiib Thiib

Ah d'accord ! Merci.
re : Inéquation#msg4142905#msg4142905 Posté le 19-04-12 à 18:25
Posté par ProfilPriam Priam

Il s'agit bien d'une inéquation à résoudre pour répondre à la question de 11h32.
re : Inéquation#msg4142907#msg4142907 Posté le 19-04-12 à 18:26
Posté par ProfilPriam Priam

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