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Démonstration par l'absurde

Posté par
SummerTime244 29-09-13 à 15:22

Bonjour

Le problème est le suivant :

Soit n un entier naturel. On se donne n + 1 reels \left \{ x_{0},x_{1},...,x_{n} \right \}\in \left [ 0,1 \right ] verifiant : 0 \leq x_{0}\leq x_{1}\leq ... \leq x_{n}\leq 1
Démontrer par l'absurde la propriete P suivante : "Il y a deux de
ces reels qui sont distants de moins de 1/n.

---------------
Brouillon :
J'ai commencé par écrire P en utilisant les symboles :
\exists (x_{i-1},x_{i})\in \left \{x_{0},x_{1},..., x_{n}\right \} , x_{i}-x_{i-1}\leq \frac{1}{n}

Ensuite sa négation :
\forall (x_{i-1},x_{i})\in \left \{x_{0},x_{1},..., x_{n}\right \} , x_{i}-x_{i-1}> \frac{1}{n}

Maintenant reste à trouver la contradiction :
Donc je commence la rédaction par supposer que x_{i}-x_{i-1}> \frac{1}{n}
Sachant que :x_{i}\in\left [ 0,1 \right ] et x_{i+1}\in\left [ 0,1 \right ]

Là je bloque... :/

Posté par
Camélia Correcteurre : Démonstration par l'absurde 29-09-13 à 15:26

Bonjour

En toute "logique" pourquoi supposes-tu qu'ils sont consécutifs? Tu peux le supposer mais il faut quand même le justifier.

Ensuite, si tu supposes la négation, que peux-tu dire de x_{n}-x_0?

Posté par
SummerTime244re : Démonstration par l'absurde 29-09-13 à 15:54

Donc je fais une itération :

x_{1}-x_{0}> \frac{1}{n}

x_{2}-x_{1}> \frac{1}{n}
.
.

x_{n}-x_{n-1}> \frac{1}{n}
_________________________________________ itération sur n éléments

x_{n}-x_{0}> 1

Ce qui contredit le fait que x_{0}\leq 1 et x_{n}\leq 1 : est-ce rigoureux ? ou pas?

Reste à démontrer que les éléments x_{i-1} et x_{i} soient forcément consécutifs pour que leur différence soit inférieure à 1/n

Merci encore pour vos réponses?

Posté par
Camélia Correcteurre : Démonstration par l'absurde 29-09-13 à 16:05

Là c'est correct. Début de la démonstration:

On veut montrer qu'il existe i et j distincts (on peut supposer que i < j) tels que x_j-x_i < 1/n. Comme x_{i+1}-x_i\leq x_j-x_i, il suffit d'examiner le cas j=i+1

Posté par
delta-Bre : Démonstration par l'absurde 29-09-13 à 19:30

Bonjour.

@ SummerTime244
Les x_i étant donnés, on peut toujours commencer par les classer par ordre croissant.

Posté par
delta-Bre : Démonstration par l'absurde 29-09-13 à 20:18

Je continue

Citation :
"Il y a deux de
ces reels qui sont distants de moins de 1/n.

ceci dire qu'il existe deux indices distincts i et j (et on peut supposer i<j) tels que x_j-x_i<1/n. Reste à prouver que les indices peuvent être choisis consécutifs. S'ils le sont déjà, il n'y a rien à montrer, sinon un au moins des couples (i,i+1) ou (j-1,j) sera bien défini et on aura soit x_{i+1}-x_i<x_j-x_i<1/n  soit  x_{j}-x_{j-1}<x_j-x_i<1/n


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