Je suppose que c'est Terminale hors France ... où le changement de variable n'est plus nau programme.

V(x-x²) dx
= V[(x(1-x)] dx

= x.V[(1-x)/x] dx (sortir x sans les valeurs absolues se justifie par les bornes de l'intégrales (> 0) ... juste encore réfléchir à x = 0

Poser (1-x)/x = t²
(1-x+x)/x = t²+1
1/x = t²+1
x = 1/(t²+1)

dx = -2t/(t²+1)² dt
---

V(x-x²) dx = x.V[(1-x)/x] dx = 1/(t²+1) * t * (-2t/(t²+1)² dt)

V(x-x²) dx = -2t²/(t²+1)³ dt

x = 0 : t --> +oo
x = 1 : t = 0





... on est ramené à une classique intégration de fonctions rationnelles.

Pour continuer :
t²/(t²+1)³ = A/(t²+1) + (Bx+C)/(t²+1)² + (Dx+E)/(t²+1)³
... développer, mettre au même dénononateur, simplifier, regrouper, identifier les coeff de même puissance en x des 2 membres ... pour en déduire les valeurs de A , B ... E
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Sauf distraction.  

Merci beaucoup pour votre aide J-P
en effet, j'ai trouvé les valeurs de A,B,D et E
bonne journée ^^

Il fallait évidemment lire :

t²/(t²+1)³ = A/(t²+1) + (Bt+C)/(t²+1)² + (Dt+E)/(t²+1)³

Re bonjour,
C'est juste pour dire que même si j'ai réussi à résoudre cette intégrale , on a pas encore vu l'intégrale des fonctions rationnelles..
n y'a t-il pas une autre façon pour résoudre cette intégrale sans passer par les fonctions rationnelles ?

merci ^^

Bonjour
il me semble qu'en posant u = x - 0.5, on arrive à une intégrale entre -1/2 et +1/2 d'une fonction paire

on peut donc écrire l'intégrale

poser 2u = cos t ou sin t doit permettre de s'en sortir sans fraction rationnelle, ensuite

et sans passer non plus par des intégrales impropres ....

Tant qu'on y est dans les méthodes de calcul, en voila une ... sans calcul d'intégrale.

y = V(x-x²) est l'équation d'un demi cercle de centre (1/2 ; 0) et de rayon 1/2

Et donc S(de0à1) V(x-x²) dx est l'aire d'un demi cercle de rayon 1/2

S(de0à1) V(x-x²) dx = (1/2)*Pi(1/2)² = Pi/8

encore mieux ! joli !