Bonjour,

tu es bien parti, continue de factoriser :

Donc pour le second terme, équation bicarrée... à toi

J'ai bien fait ce que tu as dit, d'ailleurs je me suis arrêté à cette étape...
Je ne comprends pas "équation bicarrée" je me doute bien que tu insinues quelque chose mais je ne sais pas quoi ...

Pose, x²=y dans l'équation 4x⁴+3x²-1=0 et vois ce qui se passe.

Oui c'est ce que je viens de penser à faire ça, je vois bien que il y a un delta à faire grâce au polynome de 2nd degrès, mais après que j'ai trouvé les solutions je ne sais pas quoi faire,j'ai X(4Y²+3Y-1), mais je ne devrais pas changer le X vu que j'ai posé X²=y ? Et qu'est ce que je dois faire de mes solutions ?

Je trouve delta=25 = 5²
Y1= -7/8 Y2=1/4
J'élève au carré
Donc X1=49/64 X2=1/16
J'ai donc mes solutions dans 4X^4 + 3X² -1.
Dois-je multiplié par e(-x) ces résultats ?

Avec delta, tu as deux solutions. Or, . Ces quatres soluions sont valables, il en reste une que tu dois trouver.

Je ne comprends pas ... Pourquoi pour trouvé les solutions en X il faut faire un racine plutôt que d'élever au carré ?

N'oublie pas de les exponentier avec le changement de variable du début .

Je ne comprends pas ta question, tu avais posé . Si tu élèves au carré, on a : aucun intérêt.

Donc en faisant au carré je remone de 4Y² +3Y -1 à 4X^4 +3X² -1 ?
Ainsi X1 = -racine(7/8) = -0.33 enviro
X2 = 1/2 ?

Donc en faisant la racine des solutions de Y je trouves les solutions de X pour le polynôme*** (edit)

Bon Sensya. Revois  le calcul de . impossible pour x réel: on jette.

: on prend les deux.

Donc pour delta, on a les solutions .

En revenant à , je ne t'apprends pas que x=0. Termine avec .

Je vais faire un truc plus lisible en ayant refait mes calculs
Donc on est à X(4X^4+3X²-1)
J'ai posé X² = Y
X(4Y² + 3Y -1), je m'occupe que du polynôme de 2n2 degrès
Je trouve Y1 = -1 et Y2 = 1/4, j'ai deux solutions
Maintenant vu que j'ai posé X² = Y pour retrouver les solutions de 4X^4+3X²-1, je dois faire la racine des solutions Y1 et Y2
Sachant que Y1 est impossible car négatif, on a seulement X2=1/2. Ca me fait donc 3 solutions.
Avec X(4X^4 + 3X² -1), on a une autre solution X3=0, ca me fait donc 4 solutions.
A partir de là je bloque.

On y arrive mais . Ok, donc signifie . Même tarif pour les trois autres.

C'est pas plutôt ln(2) sachant que X2=1/2 ? (je ne prends pas le négatif car pas défini dans ln)

AJOUT:
Bon X2=-1/2, impossible car pas défini
0=e(-x), c'est la même chose
Pourquoi devrais-je m'occuper des solutions Y ?

Tu t'en occupes parce qu'elles sont justes. Je t'invite à revoir ton cours sur le changement de variable. Désolé pour .

"0=e(-x), c'est la même chose": Ok.

Quand je dis pas défini, c'est biensur quand je fais X=e(-x) qui nécessite l'utilisation d'un ln

Je sais pas si le Ok, est ironique ?
Merci pour ton aide, je tiens à préciser que je n'ai jamais eu de cours sur un changement de variable et c'est la première fois que je fais cette sorte d'exercice, donc rien que d'avoir trouvé le début est un grand pas pour moi.
J'ai du mal car je comprends pas pourquoi les solutions X, Y et x sont toutes bonnes et permettent toute de résoudre l'équation 4e(-5x) + 3e(-3x) - e(-x) = 0

Enfin surtout je ne comprends pas ce que je dois faire avec les Y, j'ai cru que c'était simplement notre base pour pouvoir trouver l'unique solution qui est ln(2) ?

Ok non ironique. Bon, c'est vrai que tu t'en sors bien sans cours.  

"je comprends pas pourquoi les solutions X, Y et x sont toutes bonnes et permettent toute de résoudre l'équation 4e(-5x) + 3e(-3x) - e(-x) = 0 ": Parce que c'est faux, j'ai écrit une connerie.

Y servait à remonter jusqu'à x qui nous amenait à . Donc l'unique solution est ?

Bonjour,
Si tu as des difficultés avec les inconnues auxiliaires, tu peux passer par des factorisations :
4y² + 3y - 1 = (4y-1) (y+1) puisque tu as trouvé 1/4 et -1 comme racines.

D'où 4x⁵ + 3x³ - x = x (4x⁴ + 3x² - 1) = x (4x² - 1) (x² + 1) = x (2x - 1) (2x + 1) (x² + 1) .

D'où 4e^-5x + 3e^-3x - e^-x = e^-x (2 e^-x - 1) (2 e^-x + 1) ((e^-x)² + 1)

Le seul facteur qui n'est pas toujours strictement positif est 2 e^-x - 1 .

2 e^-x - 1 = 0 e^-x = 1/2 e^x = 2 x = ln2 .



Mais la rédaction attendue n'est pas celle là. Il faut poser X = e^-x puis Y = X² .

Si cette manière d'expliquer ne te convient pas, je recommencerai avec X et Y .

Ah donc j'avais bien compris ! Il n'y que l'unique solution S=ln(2) ! Ah merci ca me fait plaisir je me débrouille bien !
Donc quand je fais ca pour une équation, je change d'inconnu jusqu'à trouver un truc faisable a mon niveau, puis je remonte pour arriver à mon premier changement de variable en faisant gaffe de virer les solutions impossibles !
Merci beaucoup !

Je veux bien que tu m'expliques avec X et Y pour pouvoir avoir acquis deux méthodes, même si la méthode des inconnues auxiliaires comme tu le dis est ma préférée

You're welcome. Un bon exo, c'est de l'étudier maintenant.

salut

Je ne vais rien faire de plus que Gabylune, sauf qu'il t'a amené progressivement au résultat. En reprenant tout depuis le début, ce sera peut-être plus clair.
Allons-y :
Pour résoudre dans 4e^-5x + 3e^-3x - e^-x = 0 , on pose X = e^-x .
On cherche donc à résoudre 4X⁵ + 3X³ - X = 0 .
Equivalent à X = 0 ou 4X⁴ + 3X² - 1 = 0 .

Pour résoudre 4X⁴ + 3X² - 1 = 0 , on pose Y = X² .
On cherche donc à résoudre 4Y² + 3Y - 1 = 0 . Les solutions sont - 1 et 1/4.

On revient à 4X⁴ + 3X² - 1 = 0 qui est équivalent à X² = -1 ou X² = 1/4 .

X² = -1 n'a pas de solutions réelles et X² = 1/4 a deux solutions qui sont 1/2 et -1/2 .

On revient à 4X⁵ + 3X³ - X = 0 qui a donc trois solutions qui sont 0 , 1/2 et -1/2 .

On peut enfin revenir à l'équation de départ qui est équivalente à e^-x = 0 ou e^-x = 1/2 ou e^-x = -1/2 .

e^-x = 0 et e^-x = -1/2 n'ont pas de solution ; il ne reste que e^-x = 1/2

Bonjour Carpediem,
Nous nous sommes croisés...
Pour tout dire, je pense que le plus simple est de commencer par multiplier par e^x ; mais Sensya et Gabylune ont commencé dans une autre direction.

Par ailleurs il faut se méfier des principes généraux pour résoudre équations et inéquations ; ou alors préciser le type d'équation et inéquation dont on parle.

L'idéal serait de trouver pour Sensya des post dans l'île avec des équations plus simples qui l'aideraient à mieux comprendre la démarche.

non ce principe général marche toujours que l'ensemble soit intègre ou non (c'est bien sur plus compliqué quand il ne l'est pas) ... et que j'ai appliqué dès la quatrième ....


bien sur tout le problème est de savoir jongler avec les variables ... et bien connaître les objets mathématiques ...

oui la multiplication par exp(x) est évidemment plus simple que la factorisation ....

Je ne crois pas que "tout mettre dans un membre, factoriser et appliquer la règle élémentaire du produit nul" marche pour résoudre e^x = 7 ou cosx = 1/2
C'est pour cela que je parlais de préciser le type d'équation.

j'ai écrit "hormis quelques cas particulier" qui concerne en particulier les fonctions de référence


toute (in)équation peut s'écrire (en gros car voir le trinôme du second degré dans R donc ça dépend du corps ou de l'anneau de référence qui peuvent conduire ou non à des restrictions)

(f(x) - a)(g(x) - b) ....  = 0  (ou > < ... lorsqu'on travaille dans un ensemble ordonné)

où f, g, sont des fonctions de référence ....

tout le problèmes est donc :

1/ de factoriser
2/ de connaître les fonctions de référence
3/ accumuler des fonctions de référence ....


et il n'y a pas d'autre méthode ...

il est évident que pour toute équation du type aX = b

où X = f(x) et f est une quelconque fonction de référence

il n'y a plus besoin de factoriser ...

4e(-5x) + 3e(-3x) - e(-x) = 0

Poser e^-x = X (avec X > 0)

4X^5 + 3X³ - X = 0

x(4X^4 + 3X² - 1) = 0

Solution dite "évidente" : X² = -1 --->

X.(X²+1).(4X²-1) = 0
X.(X²+1).(2X+1).(2X-1) = 0

Comme X > 0, on a aussi X²+1 > 0 et 2X + 1 > 0  et donc les solutions éventuelles ne peuvent venir que 2X-1 = 0

X = 1/2

e^-x = 1/2

-x = ln(1/2)
x = ln(2)

Sauf distraction.  

super ...

Merci beaucoup pour toutes ces différentes méthodes !

De rien ; et voici deux autres topics avec des inconnues auxiliaires : Inconu auxiliaie inconnue auxiliaire

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