Fiche de mathématiques

Etude de la position relative de deux courbes

I. Intersection de deux courbes

Théorème 1

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle I.
On appelle $C_f$ et $C_g$ leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
Les abscisses des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$ sont les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ .

Exemple :
Soient $f$ et $g$ les deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = x^2 - 3x - 4$ $g(x) = 3x + 12$
Les courbes représentatives $C_f$ (en rouge) et $C_g$ (en bleu) sont données dans le repère ci-dessous.
Cours Etude de la position relative de deux courbes - premiere : image 1

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Recherche des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$ :
$f(x) = g(x) \\ \Longleftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 3x + 12 \\ \Longleftrightarrow x^2 - 6x - 16 = 0 \\ \Longleftrightarrow x = -2 \text{ ou } x = 8$
Les abscisses des points d'intersection de $C_f$ et $C_g$ sont donc -2 et 8.
Les ordonnées sont données par $g(-2) = 6$ et $g(8) = 36$ .
Les points d'intersection A et B ont donc pour coordonnées : A(-2 ; 6) B(8 ; 36).

II. Position relative de deux courbes

Théorème 2

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle I.
On appelle $C_f$ et $C_g$ leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
Si, pour tout $x$ de I :

$f(x) > g(x)$ , alors la courbe $C_f$ est au dessus de la courbe $C_g$ ;

$f(x) < g(x)$ , alors la courbe $C_f$ est en dessous de la courbe $C_g$ .

En pratique, on utilise plutôt le théorème suivant qui est équivalent au théorème 2 :

Théorème 3

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle I.
On appelle $C_f$ et $C_g$ leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
On pose, pour tout $x$ de I : $h(x) = f(x) - g(x)$ .
Si, pour tout $x$ de I :

$h(x) > 0$ , alors la courbe $C_f$ est au dessus de la courbe $C_g$ ;

$h(x) < 0$ , alors la courbe $C_f$ est en dessous de la courbe $C_g$ .

Exemple :
On reprend les fonctions $f$ et $g$ les deux fonctions définies dans la partie I.
On pose, pour tout $x$ réel : $h(x) = f(x) - g(x)$ .
$h(x) = x^2 - 3x - 4 - (3x + 12) = x^2 - 6x - 16$
On peut factoriser $h(x)$ :
$h(x) = (x + 2)(x - 8)$

Étude du signe de $h(x)$ :
Cours Etude de la position relative de deux courbes - premiere : image 2

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Conclusion :
Si $x \in ]-\infty ; -2[ \cup ]8 ; +\infty[$ alors $h(x) > 0$ donc $f(x) > g(x)$ donc la courbe $C_f$ est au dessus de la courbe $C_g$ ;
Si $x \in ]-2 ; 8[$ alors $h(x) < 0$ donc $f(x) < g(x)$ donc la courbe $C_f$ est en dessous de la courbe $C_g$ .

III. Intersection d'une courbe avec les axes du repère

1. Intersection d'une courbe avec l'axe des ordonnées

On reprend l'exemple de la fonction $f$ définie dans la partie I.
Le point d'intersection E de la courbe $C_f$ avec l'axe des ordonnées a une abscisse nulle, et son ordonnée est donnée par $f(0) = -4$ .
Donc E a pour coordonnées E(0 ; -4).

2. Intersection d'une courbe avec l'axe des abscisses

On reprend l'exemple de la fonction $f$ définie dans la partie I.
Les points d'intersection C et D de la courbe $C_f$ avec l'axe des abscisses ont leurs ordonnées nulles, et leurs abscisses sont les solutions de l'équation $f(x) = 0$ .
$f(x) = 0 \\ \Longleftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Longleftrightarrow x = -1 \text{ ou } x = 4$
Donc les points C et D ont pour coordonnées C(-1 ; 0) et D(4 ; 0).

Merci à jamo

pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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