Fiche de mathématiques
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Etude de la position relative de deux courbes

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Pour ce chapitre tu dois savoir manipuler des expressions algébriques, étudier le signe d'un produit ou d'un quotient et de résoudre des équations. Ces notions sont essentielles à la compréhension du cours et la résolution des exercices que tu seras amené à faire. Il faut également avoir compris le lien entre le signe d'une expression algébrique et sa représentation graphique dans un repère.

Enjeu
Le but de ce chapitre est de pouvoir déterminer par le calcul, entre 2 courbes, quelle courbe se situe au-dessus de l'autre et sur quel(s) intervalle(s). Il te permettra d'interpréter ensuite, dans des problèmes plus concrets, des situations liées à la physique, la chimie, l'économie,?

I. Intersection de deux courbes

Théorème 1
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.
On appelle C_f et C_g leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
Les abscisses des points d'intersection des courbes C_f et C_g sont les solutions de l'équation f(x) = g(x).


Exemple :
Soient f et g les deux fonctions définies sur \mathbb{R} par :
f(x) = x^2 - 3x - 4             g(x) = 3x + 12

Les courbes représentatives C_f (en rouge) et C_g (en bleu) sont données dans le repère ci-dessous.
Position relative de deux courbes - Cours de premiere : image 1

Recherche des points d'intersection des courbes C_f et C_g :
f(x) = g(x) \\ \Longleftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 3x + 12 \\ \Longleftrightarrow x^2 - 6x - 16 = 0 \\ \Longleftrightarrow x = -2 \text{ ou } x = 8
Les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g sont donc -2 et 8.
Les ordonnées sont données par g(-2) = 6 et g(8) = 36.
Les points d'intersection A et B ont donc pour coordonnées : A(-2 ; 6)   B(8 ; 36).


II. Position relative de deux courbes

Théorème 2
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.
On appelle C_f et C_g leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
Si, pour tout x de I :
f(x) > g(x), alors la courbe C_f est au dessus de la courbe C_g;
f(x) < g(x), alors la courbe C_f est en dessous de la courbe C_g.


En pratique, on utilise plutôt le théorème suivant qui est équivalent au théorème 2 :
Théorème 3
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.
On appelle C_f et C_g leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
On pose, pour tout x de I : h(x) = f(x) - g(x).
Si, pour tout x de I :
h(x) > 0, alors la courbe C_f est au dessus de la courbe C_g;
h(x) < 0, alors la courbe C_f est en dessous de la courbe C_g.


Exemple :
On reprend les fonctions f et g les deux fonctions définies dans la partie I.
On pose, pour tout x réel : h(x) = f(x) - g(x).
h(x) = x^2 - 3x - 4 - (3x + 12) = x^2 - 6x - 16
On peut factoriser h(x) :
h(x) = (x + 2)(x - 8)

Étude du signe de h(x) :
Position relative de deux courbes - Cours de premiere : image 2


Conclusion :
Si x \in ]-\infty ; -2[ \cup ]8 ; +\infty[ alors h(x) > 0 donc f(x) > g(x) donc la courbe C_f est au dessus de la courbe C_g;
Si x \in ]-2 ; 8[ alors h(x) < 0 donc f(x) < g(x) donc la courbe C_f est en dessous de la courbe C_g.


III. Intersection d'une courbe avec les axes du repère

1. Intersection d'une courbe avec l'axe des ordonnées

On reprend l'exemple de la fonction f définie dans la partie I.
Le point d'intersection E de la courbe C_f avec l'axe des ordonnées a une abscisse nulle, et son ordonnée est donnée par f(0) = -4.
Donc E a pour coordonnées E(0 ; -4).

2. Intersection d'une courbe avec l'axe des abscisses

On reprend l'exemple de la fonction f définie dans la partie I.
Les points d'intersection C et D de la courbe C_f avec l'axe des abscisses ont leurs ordonnées nulles, et leurs abscisses sont les solutions de l'équation f(x) = 0.
f(x) = 0 \\ \Longleftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Longleftrightarrow x = -1 \text{ ou } x = 4
Donc les points C et D ont pour coordonnées C(-1 ; 0) et D(4 ; 0).
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