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Fiche de mathématiques






I. Intersection de deux courbes

Théorème 1
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.
On appelle C_f et C_g leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
Les abscisses des points d'intersection des courbes C_f et C_g sont les solutions de l'équation f(x) = g(x).

Exemple :
Soient f et g les deux fonctions définies sur \mathbb{R} par :
f(x) = x^2 - 3x - 4             g(x) = 3x + 12

Les courbes représentatives C_f (en rouge) et C_g (en bleu) sont données dans le repère ci-dessous.
Cours Etude de la position relative de deux courbes - premiere : image 1

Recherche des points d'intersection des courbes C_f et C_g :
f(x) = g(x) \\ \Longleftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 3x + 12 \\ \Longleftrightarrow x^2 - 6x - 16 = 0 \\ \Longleftrightarrow x = -2 \text{ ou } x = 8
Les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g sont donc -2 et 8.
Les ordonnées sont données par g(-2) = 6 et g(8) = 36.
Les points d'intersection A et B ont donc pour coordonnées : A(-2 ; 6)   B(8 ; 36).


II. Position relative de deux courbes

Théorème 2
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.
On appelle C_f et C_g leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
Si, pour tout x de I :
* f(x) > g(x), alors la courbe C_f est au dessus de la courbe C_g;
* f(x) < g(x), alors la courbe C_f est en dessous de la courbe C_g.

En pratique, on utilise plutôt le théorème suivant qui est équivalent au théorème 2 :
Théorème 3
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.
On appelle C_f et C_g leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
On pose, pour tout x de I : h(x) = f(x) - g(x).
Si, pour tout x de I :
* h(x) > 0, alors la courbe C_f est au dessus de la courbe C_g;
* h(x) < 0, alors la courbe C_f est en dessous de la courbe C_g.

Exemple :
On reprend les fonctions f et g les deux fonctions définies dans la partie I.
On pose, pour tout x réel : h(x) = f(x) - g(x).
h(x) = x^2 - 3x - 4 - (3x + 12) = x^2 - 6x - 16
On peut factoriser h(x) :
h(x) = (x + 2)(x - 8)

Étude du signe de h(x) :
Cours Etude de la position relative de deux courbes - premiere : image 2

Conclusion :
Si x \in ]-\infty ; -2[ \cup ]8 ; +\infty[ alors h(x) > 0 donc f(x) > g(x) donc la courbe C_f est au dessus de la courbe C_g;
Si x \in ]-2 ; 8[ alors h(x) < 0 donc f(x) < g(x) donc la courbe C_f est en dessous de la courbe C_g.


III. Intersection d'une courbe avec les axes du repère

1. Intersection d'une courbe avec l'axe des ordonnées

On reprend l'exemple de la fonction f définie dans la partie I.
Le point d'intersection E de la courbe C_f avec l'axe des ordonnées a une abscisse nulle, et son ordonnée est donnée par f(0) = -4.
Donc E a pour coordonnées E(0 ; -4).

2. Intersection d'une courbe avec l'axe des abscisses

On reprend l'exemple de la fonction f définie dans la partie I.
Les points d'intersection C et D de la courbe C_f avec l'axe des abscisses ont leurs ordonnées nulles, et leurs abscisses sont les solutions de l'équation f(x) = 0.
f(x) = 0 \\ \Longleftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \\ \Longleftrightarrow x = -1 \text{ ou } x = 4
Donc les points C et D ont pour coordonnées C(-1 ; 0) et D(4 ; 0).



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