Fiche de mathématiques
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Polynômes

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Fiche relue en 2016.

exercice 1

Sans utiliser de discriminant, résoudre les équations et inéquations suivantes:

a) 3x^2 + 5x = 0
b) 9x^2 - 1 = 0
c) (x+1)(x-2) > 5(x+1)^2

exercice 2

Indiquer parmi ces fonctions celles qui sont des fonctions polynômes. Donner alors leur degré.
a) f(x) = (3x^2+1)(2x^2-5)
b) g(x) = \frac{x^2-5x}{x}
c) h(x) = \frac{x^3+3x}{x^2+3}

exercice 3

Résoudre dans R les équations suivantes:
a) x^2-6x+5 = 0
b) 2x^2+x+8 = 0
c) -x^2+6x+2 = 0

exercice 4

Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel x, on ait:
3x^3-2x^2+4x-5 = (x-1)(ax^2+bx+c)

exercice 5

On considère la fonction f définie par: f(x)= \frac{2x^2+3x-5}{x^2+x-2}
a) Déterminer l'ensemble de définition de f.
b) Simplifier la fraction f(x)

exercice 6

La fonction polynôme P est définie par: P(x)=ax^2+bx+c, avec a \neq  0
Le tableau de signes de la fonction P est donné ci dessous.
résolution d'une équation et factorisation d'un polynôme du second degré - première : image 4


a) Quel est le signe du discriminant? Celui de a? celui de P(-3)? Celui de c?
b) Donner la forme factorisée de \frac{1}{a}P(x)
c) Sachant que P(2) = 27, déterminer a, b et c.

exercice 7

Soit m un nombre réel donné. On considère la fonction polynôme définie par:
P(x)=(m^2-4)x^3+(m-2)x^2+x-7
Determiner le degré de P selon les valeurs de m.

exercice 8

Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes :
    a)2x2 + x - 15 = 0
    b)-x2 + x + 2 = 0
    c)x2 - \sqrt{20} x + 5 = 0
    d)5x2 + 3x + 2 = 0



exercice 9

Factoriser, lorsque c'est possible, les trinômes suivants :
    a)P(x) = 9x2 + 4x - 5
    b)P(x) = x2 + 2x - 3
    c)P(x) = x2 + x + 1
    d)P(x) = 12x2 + 7x
    e)P(x) = 3x2 - 6x + 3





exercice 1.


a) 3x^2+5x=0 .
On factorise par x. On obtient : x(3x+5)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
x=0  \text{ ou } 3x+5=0
x=0   \text{ ou  }  x=-\dfrac{5}{3}
S=\lbrace -\dfrac{5}{3}\;;\;0\rbrace

b) 9x^2-1=0. On factorise :
(3x-1)(3x+1)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
3x-1=0  \text{ ou }  3x+1=0
x=\dfrac{1}{3}  \text{ ou } x=-\dfrac{1}{3}
S=\lbrace -\dfrac{1}{3}\;;\;\dfrac{1}{3}\rbrace

c) (x+1)(x-2)>5(x+1)^2 . On regroupe tout dans un seul membre :
(x+1)(x-2)-5(x+1)^2>0 . On factorise par (x+1)
(x+1)(x-2-5(x+1))>0
(x+1)(-4x-7)>0
Dans un premier temps, on cherche les valeurs qui annulent le produit de facteurs.
(x+1)(-4x-7)=0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul
(x+1)=0   \text{ ou }   (-4x-7)=0
x=-1  \text{ ou  }  x=-\dfrac{7}{4}
Un trinôme ax^2+bx+c est du signe de a à l'extérieur des solutions.Ici : a=-4 <0
donc (x+1)(x-2)-5(x+1)^2>0 si  -\dfrac{7}{4}<x<-1
S={]-\dfrac{7}{4};-1[}
Remarque : la résolution de (x+1)(-4x-7)>0 pouvait se faire également à l'aide d'un tableau de signes (voir programme de seconde)

exercice 2


a) f(x)=(3x^2+1)(2x^2-5) =6x^4 -13x^2-5
f est une fonction polynôme de degré 4

b) g(x)=\dfrac{x^2-5x}{x}  =\dfrac{x(x-5)}x} , définie sur \mathbb{R}^*
g n'est pas une fonction polynôme, car g n'est pas définie pour x=0.

c) h(x)=\dfrac{x^3+3x}{x^2+3}=\dfrac{x(x^2+3)}{x^2+3}=x définie sur \mathbb{R}
h est une fonction polynôme de degré 1

exercice 3


a) x^2-6x+5=0
Ce polynôme admet une racine évidente x_1=1
Or le produit des racines vaut  \dfrac{c}{a}=5
d'où la deuxième solution est : x_2=5 et S=\lbrace1;5\rbrace  \\

b) 2x^2+x+8=0
\Delta <0  donc l'équation proposée n'admet pas de solution.
S=\emptyset

c) -x^2+6x+2=0
Le discriminant est égal à : \Delta=44
On obtient : x_1=\dfrac{-6-\sqrt{44}}{-4} \text{ ou }  x_2=\dfrac{-6+\sqrt{44}}{-4}  que l'on peut simplifier.
S=\lbrace 3-\sqrt{11}\;;\;3+\sqrt{11}\rbrace

exercice 4


Deux polynômes P et Q sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré de P et Q sont égaux
Développons : (x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3-ax^2+bx^2-bx+cx-c=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c
Pour tout x réel, 3x^3-2x^2+4x-5=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c
équivaut à dire : \begin{array}{llll}\left\lbrace\begin{array}l 3=a \\-2=(-a+b) \\4=(-b+c)\\-c=-5\end{array} &  \left\lbrace\begin{array}l 3=a \\-2=-a+b \\4=-b+c\\c=5\end{array} &    \left\lbrace\begin{array}l a=3 \\b=-2+3 \\b=-4+5\\c=5\end{array} &   \left\lbrace\begin{array}l a=3 \\b =1\\c=5\end{array} \end{array}
Conclusion : 3x^3-2x^2+4x-5=(x-1)(3x^2+x+5)

exercice 5

f(x)=\dfrac{2x^2+3x-5}{x^2+x-2}
La fonction f e st définie si et seulement si x^2+x-2\neq 0
Déterminons les racines de  x^2+x-2=0
Ce polynôme admet une racine évidente  x_1=1   \text{ car } 1+1-2=0
or le produit des solutions est égal à x_1\times x_2=\dfrac{-2}{1}  d'où x_2=-2
f est définie sur \mathbb{R} \setminus \lbrace -2;1\rbrace
1 et 2 étant les racines du trinôme x^2+x-2, le trinôme peut être factorisé :
Rappel : ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

On obtient : x^2+x-2=(x-1)(x+2)

f est simplifiable si 1 ou -2 sont racines de 2x^2+3x-5
1 est une racine évidente de 2x^2+3x-5   \text{ car } 2+3-5=0
Déterminons x_2
Or x_1\times x_2=1\times x_2=x_2=\dfrac{-5}{2}
Le trinôme admet deux racines , sa factorisation peut s'écrire :
2x^2+3x-5=2(x-1)(x+\dfrac{5}{2})=(x-1)(2x+5)
Le numérateur et le dénominateur ont le facteur (x-1) en commun , simplifions
\text{Sur }  \mathbb{R}  \  \lbrace -2;1\rbrace \quad f(x)=\dfrac{(x-1)(2x+5)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{2x+5}{x+2}
 \text{Sur }  \mathbb{R}  \  \lbrace -2;1\rbrace \quad f(x) =\dfrac{2x+5}{x+2}

exercice 6


a)
P(x)=ax^2+bx+c\\ P(-1)=0    \text{ et  }   P(4)=0     \text{ et }      P(x)>0     \text{ si }  -1<x<4
Le polynôme admet deux racines donc le discriminant est strictement positif ,et a est strictement négatif puisque le polynôme est positif, donc du signe opposé de a entre les racines
b)
Comme 1 et 4 sont les racines , alors on peut factoriser P , par (x-(-1))et (x-4). On obtient :
P(x)=a(x+1)(x-4)
\text{ Comme }a\neq 0 \;,\quad \dfrac{1}{a}P(x)=\dfrac{1}{a}\times a(x+1)(x-4)=(x+1)(x-4)
c)
P(2)=2^2a+2b+c=4a+2b+c=27
D'après le 1) , \dfrac{-b}{a}=-1+4=3 \text{ d'où }b=-3a

\dfrac{c}{a}=-1\times 4=-4  \text{ d'où }c=-4a \text{ donc } 4a+2b+c=4a-6a -4a=27 \text{ et } -6a=27

a=\dfrac{-27}{6}=-\dfrac{9}{2}=-4,5 \quad  b=-3\times \dfrac{-9}{2}=\dfrac{27}{2}=13,5 \quad  c=-4\times \dfrac{-9}{2}=18
d'où l'expression du polynôme : P(x) =- \dfrac{9}{2}x^2+\dfrac{27}{2}x+18
que l'on peut aussi écrire P(x)=-4,5x^2+13,5x+18

exercice 7

P(x)=(m^2-4)x^3+(m-2)x^2+x-7\\ P(x)=(m-2)(m+2)x^3+(m-2)x^2+x-7\\ P(x)=(m-2)[(m+2)x^3+x^2]+x-7

\text{Si }m=2   \text{ alors }   m-2 =0   \text{ et }  P(x)=x-7
Le polynôme est de degré 1

\text{Si }m=-2    \text{ alors  }  m+2=0  \text{ et } P(x)=(m-2)x^2+x-7
Le polynôme est de degré 2

\text{Pour tout m appartenant à  }\mathbb{R} \setminus \lbrace-2;2\rbrace  \\ P(x)=(m^2-4)x^3+(m-2)x^2+x-7
Le polynôme est de degré 3

exercice 8

Pour résoudre de telles équations du second degré, je calcule les discriminants :
a)2x2 + x - 15 = 0
\Delta = b2 - 4ac = 1 - 4 × 2 × (-15) = 121 = 112
Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions distinctes :
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-11}{2\times2}=-3      x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+11}{2\times2}=\dfrac{5}{2}
D'où : \boxed{S = \left \lbrace -3 ; \dfrac{5}{2} \right \rbrace}

b)-x2 + x + 2 = 0
\Delta = 12 - 4 × (-1) × 2 = 9 = 32
Le discriminant étant strictement positif, l'équation admet deux solutions distinctes :
x_1=\dfrac{-1-3}{-2}=2      x_2=\dfrac{-1+3}{-2}=-1
D'où : \boxed{S = \lbrace -1 ; 2 \rbrace}

c)x2 - 2\sqrt{5} x + 5 = 0
On reconnait une identité remarquable. Cela s'écrit (x-\sqrt{5})²=0
Pour cet exemple, le calcul du discriminant était donc peu indiqué. On l'aurait trouvé nul bien entendu.
D'où : \boxed{S = \lbrace \sqrt{5} \rbrace}

d)5x2 + 3x + 2 = 0
\Delta = 32 - 4 × 5 × 2 = -31
Le discriminant étant négatif, l'équation n'admet pas de solution dans \mathbb{R}.
D'où : \boxed{S = \emptyset}



exercice 9

Pour factoriser une expression, il faut commencer par trouver un facteur commun, s'il n'y en a pas, penser aux identités remarquables. En première, une nouvelle méthode apparaît pour factoriser les trinômes : on cherche les racines du trinôme.

a) P(x) = 9x2 + 4x - 5
Dans ce cas, pas de facteur commun, on n'a pas d'identités remarquables. On cherche donc les racines du trinôme :
\Delta = 42 - 4 × 9 × (-5) = 196 = 142
x1 = (-4 - 14)/18 = -1        x2 = (-4 + 14)/18 = 5/9
On peut donc factoriser le trinôme :
P(x) = 9(x + 1)(x - (5/9)) = (x + 1)(9x - 5)

b) P(x) = x2 + 2x - 3
Dans ce cas, pas de facteur commun, on n'a pas d'identités remarquables. On cherche donc les racines du trinôme :
\Delta = 22 - 4 ×1 ×(-3)= 16 = 42
x1 = (-2 - 4)/2 = -3        x2 = (-2 + 4)/2 = 1
On peut donc factoriser le trinôme :
P(x) = (x + 3)(x - 1)

c) P(x) = x2 + x + 1
Dans ce cas, pas de facteur commun, on n'a pas d'identités remarquables. On cherche donc les racines du trinôme :
\Delta = 12 - 4 × 1 × 1 = -3
\Delta étant négatif, on ne pourra pas factoriser le polynôme dans \mathbb{R}.

d) P(x) = 12x2 + 7x
On a un facteur commun x, d'où : P(x) = x(12x + 7)

e) P(x) = 3x2 - 6x + 3
On peut déjà factoriser par 3 et on voit apparaître une identité remarquable, d'où :
P(x) = 3(x2 - 2x + 1)= 3(x - 1)2
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