Dérivation : Cours

I. Nombre dérivé en x₀

1. Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x₀. On dit que f est dérivable en x₀ si la quantité admet une limite finie quand h tend vers 0.
Cette limite est appelée nombre dérivé en x₀ et notée f '(x₀).

Remarque : Il ne faut pas écrire « » si l'existence de cette limite n'a pas encore été justifiée.

2. Meilleure approximation affine

Théorème 1
f est dérivable en x₀ si et seulement si il existe un réel l tel que f(x₀+ h) = f(x₀) + l h + h(h) avec
Alors l = f '(x₀).

Remarque : on parle d'approximation affine car on remplace la fonction h f(x₀ + h) par la fonction affine h f(x₀) + f '(x₀)h.
L'erreur commise en effectuant ce remplacement est h (h). Cette erreur n'est petite que lorsque h est très petit.

Exemples importants :
(1 + h)² = 1 + 2h + h(h)

(1 + h)³ = 1 + 3h + h(h)

avec .

3. Lien avec la notion de limite

Propriété 1
Si f est dérivable en x₀, alors f admet une limite finie en x₀.

Remarque : la réciproque est fausse !

4. Nombre dérivé à droite. Nombre dérivé à gauche

Définition
Si existe et est finie, on dit que f est dérivable à droite en x₀ et on note f '_d(x₀) cette limite, appelée « nombre dérivé à droite » en x₀.
On définit de façon similaire le nombre dérivé à gauche f '_g(x₀). Dans le cas où l'expression de f(x) n'est pas la même avant et après x₀ et si f admet une limite finie en x₀ (qui est alors f(x₀)), alors :

Théorème 2
f est dérivable en x₀ si et seulement si f '_d(x₀) et f '_g(x₀) existent et sont égaux.

5. Interprétation graphique et mécanique

Propriété 2
S'il existe, le nombre dérivé f '(x₀) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point M₀(x₀, f(x₀)).

Remarque : Si f '_d(x₀) et f '_g(x₀) existent mais sont différents, la courbe admet deux demi-tangentes en M₀ et fait un « angle » en ce point.

Propriété 3
Si x(t) désigne l'abscisse, à l'instant t, d'un point mobile se déplaçant sur un axe et si t x(t) est dérivable en t₀, alors x'(t₀) est la vitesse instantanée du point mobile à l'instant t₀.

Remarque : Il ne faut pas confondre avec la vitesse moyenne entre t₀ et t₁ qui est .

II. Fonction dérivée

1. Définition

La fonction dérivée est la fonction f ' : x f '(x).

Remarque : il ne faut pas confondre le nombre dérivé f '(x) et la fonction dérivée f ' (comme il ne faut pas confondre f (x) et f).

2. Propriétés

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur le même ensemble D, alors les fonctions suivantes sont dérivables et :

(au + bv)' = au' + bv' pour a, b réels quelconques

(uv)' = u'v + uv'

, aux points x tels que v(x) 0

, aux points x tels que v(x) 0

(un)' = nun - 1u' (n *)

(n *)

Si F(x) = u(ax + b), F'(x) = au'(ax+b) a,b réels quelconques

Propriété 4
Une fonction paire a une dérivée impaire.
Une fonction impaire a une dérivée paire.

Remarque : utiliser cette propriété comme vérification lorsqu'on dérive une fonction paire ou une fonction impaire.

3. Dérivées usuelles

f(x)	f ' (x)	Df '
a	0
ax + b	a
ax² + bx + c	2ax + b
xn (n *)	nxn-1
		*
(n *)		*
		*+
		{x / ax + b > 0
cos x	-sin x	x
sin x	cos x	x

III. Utilisation des dérivées

1. Sens de variation d'une fonction

Théorème 3
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors :
f est croissante sur I ssi pour tout x I, f '(x) 0.
f est décroissante sur I ssi pour tout x I, f '(x) 0.
f est constante sur I ssi pour tout x I, f '(x) = 0.

Remarque : ce théorème n'est valable que sur un intervalle. Par exemple la fonction x est décroissante sur *^- et sur *⁺, mais pas sur *.

2. Lien avec la notion de bijection

Théorème 4
Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle [a, b].
Si, pour tout x ]a, b[, f '(x) > 0, alors f réalise une bijection strictement croissante de [a, b] sur [f(a), f(b)].
Si, pour tout x ]a, b[, f '(x) < 0, alors f réalise une bijection strictement décroissante de [a, b] sur [f(b), f(a)].

Remarque :
On peut remplacer f(a) par et [a, b] par ]a, b], [f(a), f(b)] par ] , f(b)], lorsque f n'est pas définie en a mais admet en a une limite (finie ou infinie).
si f^-1 est la bijection réciproque, alors f^-1 a le même sens de variation que f.

3. Extrema d'une fonction

Théorème 5
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x₀.
Si f ' s'annule en changeant de signe en x₀, alors f admet un extremum en x₀.

Remarque : dans ce cas, C_f admet une tangent horizontale en M₀(x₀, f(x₀)).

4. Plan d'étude d'une fonction

Ensemble de définition D_f.
Eventuelle parité ou périodicité (pour réduire l'ensemble d'étude).
Limites ou valeurs de f aux bornes des intervalles constituant D_f et éventuelles asymptotes.
Existence et détermination de f ' (en utilisant les opérations ou la définition) puis signe de f '(x).
Tableau de variation récapitulant les résultats précédents.
Recherche éventuelle d'un centre ou d'un axe de symétrie.
Tracé de la courbe après avoir placé :
    - les axes du repère avec la bonne unité ;
    - les points particuliers (tangente horizontale ou verticale, intersection avec les axes, ...) ;
    - les éventuelles asymptotes.

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© Tom_Pascal & Océane 2006