Fiche de mathématiques

Dérivation : Cours

I. Nombre dérivé en $x_0$

1. Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$ . On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si la quantité $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers 0.
Cette limite est appelée nombre dérivé en $x_0$ et notée $f'(x_0)$ .

Remarque : Il ne faut pas écrire « $\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ » si l'existence de cette limite n'a pas encore été justifiée.

2. Meilleure approximation affine

Théorème 1

$f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si il existe un réel $l$ tel que $f(x_0+ h) = f(x_0) + l h + h\epsilon(h)$ avec $\displaystyle \lim_0\epsilon=0$ .
Alors $l = f'(x_0)$ .

Remarque : on parle d'approximation affine car on remplace la fonction $h \mapsto f(x_0+ h)$ par la fonction affine $h \mapsto f(x_0) + f'(x_0)h$ .
L'erreur commise en effectuant ce remplacement est $h \epsilon(h)$ . Cette erreur n'est petite que lorsque $h$ est très petit.

Exemples importants :
$(1 + h)^2 = 1 + 2h + h\epsilon(h)$
$\dfrac{1}{1+h}=1-h + h\epsilon(h)$
$(1 + h)^3 = 1 + 3h + h\epsilon(h)$
$\sqrt{1 + h} = 1 + \dfrac{1}{2}h + h\epsilon(h)$
avec $\displaystyle \lim_0\epsilon=0$ .

3. Lien avec la notion de limite

Propriété 1

Si $f$ est dérivable en $x_0$ , alors $f$ admet une limite finie en $x_0$ .

Remarque : la réciproque est fausse !

4. Nombre dérivé à droite. Nombre dérivé à gauche

Définition

Si $\displaystyle \lim_{^{h \to 0}_{h>0}} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ existe et est finie, on dit que $f$ est dérivable à droite en $x_0$ et on note $f'_d(x_0)$ cette limite, appelée « nombre dérivé à droite » en $x_0$ .

On définit de façon similaire le nombre dérivé à gauche $f'_g(x_0)$ .
Dans le cas où l'expression de f(x) n'est pas la même avant et après x₀ et si f admet une limite finie en x₀ (qui est alors $f(x_0)$ ), alors :

Théorème 2

$f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si $f'_d(x_0)$ et $f'_g(x_0)$ existent et sont égaux.

5. Interprétation graphique et mécanique

Propriété 2

S'il existe, le nombre dérivé $f'(x_0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point M₀( $x_0$ , $f(x_0)$ ).

Remarque : Si $f'_d(x_0)$ et $f'_g(x_0)$ existent mais sont différents, la courbe admet deux demi-tangentes en M₀ et fait un « angle » en ce point.

Propriété 3

Si $x(t)$ désigne l'abscisse, à l'instant $t$ , d'un point mobile se déplaçant sur un axe et si $t \mapsto x(t)$ est dérivable en $t_0$ , alors $x'(t_0)$ est la vitesse instantanée du point mobile à l'instant $t_0$ .

Remarque : Il ne faut pas confondre avec la vitesse moyenne entre $t_0$ et $t_1$ qui est $\dfrac{x(t_1)-x(t_0)}{t_1-t_0}$ .

II. Fonction dérivée

1. Définition

La fonction dérivée est la fonction $f ' : x \mapsto f '(x)$ .

Remarque : il ne faut pas confondre le nombre dérivé $f'(x)$ et la fonction dérivée $f'$ (comme il ne faut pas confondre $f(x)$ et $f$ ).

2. Propriétés

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur le même ensemble D, alors les fonctions suivantes sont dérivables et :

$(au + bv)' = au' + bv'$ pour $a$ , $b$ réels quelconques

$(uv)' = u'v + uv'$

$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ , aux points $x$ tels que $v(x) \neq 0$

$\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}$ , aux points $x$ tels que $v(x) \neq 0$

$(u^n)' = nu^{n-1}u'$ ( $n \in \mathbb{N}^{*}$ )

$\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'=\dfrac{-nu'}{u^{n+1}}$ ( $n \in \mathbb{N}^{*}$ )

Si $F(x) = u(ax + b)$ , $F'(x) = au'(ax+b)$ $a$ , $b$ réels quelconques

Propriété 4

Une fonction paire a une dérivée impaire.
Une fonction impaire a une dérivée paire.

Remarque : utiliser cette propriété comme vérification lorsqu'on dérive une fonction paire ou une fonction impaire.

3. Dérivées usuelles

$f(x)$	$f'(x)$	$D_{f'}$
$a$	$0$	$\mathbb{R}$
$ax + b$	$a$	$\mathbb{R}$
$ax^2 + bx + c$	$2ax + b$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{N}^{*}$ )	$nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\mathbb{R}^{*}$
$\dfrac{1}{x^n}$ ( $n \in \mathbb{N}^{*}$ )	$-\dfrac{n}{x^{n+1}}$	$\mathbb{R}^{*}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$\mathbb{R}^{+*}$
$\sqrt{ax+b}$	$\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}$	$x \in$ $\mathbb{R}$ / $ax + b > 0$
$\cos x$	$-\sin x$	$x \in \mathbb{R}$
$\sin x$	$\cos x$	$x \in \mathbb{R}$

III. Utilisation des dérivées

1. Sens de variation d'une fonction

Théorème 3

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors :
$f$ est croissante sur I ssi pour tout $x \in$ I, $f'(x) \ge 0$ .
$f$ est décroissante sur I ssi pour tout $x \in$ I, $f'(x)\le 0$ .
$f$ est constante sur I ssi pour tout $x \in$ I, $f'(x) = 0$ .

Remarque : ce théorème n'est valable que sur un intervalle. Par exemple la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $\mathbb{R}^{-*}$ et sur $\mathbb{R}^{+*}$ , mais pas sur $\mathbb{R}^{*}$ .

2. Lien avec la notion de bijection

Théorème 4

Soit $f$ une fonction dérivable sur l'intervalle [a, b].

Si, pour tout $x \in$ ]a, b[, $f '(x) > 0$ , alors $f$ réalise une bijection strictement croissante de [a, b] sur [ $f$ (a), $f$ (b)].

Si, pour tout $x \in$ ]a, b[, $f '(x) < 0$ , alors $f$ réalise une bijection strictement décroissante de [a, b] sur [ $f$ (b), $f$ (a)].

Remarque :

On peut remplacer $f$ (a) par $\displaystyle \lim_{a}f$ et [a, b] par ]a, b], [ $f$ (a), $f$ (b)] par ] $\displaystyle \lim_{a}f$ , $f$ (b)], lorsque $f$ n'est pas définie en a mais admet en a une limite (finie ou infinie).

si $f^{-1}$ est la bijection réciproque, alors $f^{-1}$ a le même sens de variation que $f$ .

3. Extrema d'une fonction

Théorème 5

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$ .
Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $x_0$ , alors $f$ admet un extremum en $x_0$ .

Remarque : dans ce cas, $C_{f}$ admet une tangent horizontale en M₀( $x_0$ , $f(x_0)$ ).

4. Plan d'étude d'une fonction

Ensemble de définition D_f.

Éventuelle parité ou périodicité (pour réduire l'ensemble d'étude).

Limites ou valeurs de $f$ aux bornes des intervalles constituant D_f et éventuelles asymptotes.

Existence et détermination de $f'$ (en utilisant les opérations ou la définition) puis signe de $f'(x)$ .

Tableau de variation récapitulant les résultats précédents.

Recherche éventuelle d'un centre ou d'un axe de symétrie.

Tracé de la courbe après avoir placé :
- les axes du repère avec la bonne unité ;
- les points particuliers (tangente horizontale ou verticale, intersection avec les axes, ...) ;
- les éventuelles asymptotes.

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