Fiche de mathématiques
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Dérivation et dérivée : Cours de maths

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Pré requis
Pour ce chapitre, tu auras besoin de savoir manipuler correctement les expressions algébriques des fonctions et faire des opérations avec. Tu vas découvrir une nouvelle notion portant sur les fonctions de références vues en seconde et en début de 1ère. Tu dois donc avoir très bien compris les propriétés calculatoires et géométriques de ces fonctions et avoir en tête leur représentations graphiques.

Enjeu
Le but de ce chapitre est de permettre d'étudier les variations des fonctions d'une façon beaucoup plus simple et rapide que ce que tu as été amené à faire jusqu'à présent. Cette notion sera utilisée et complétée en terminale (avec les nouvelles fonctions qui seront étudiées) et dans le supérieur. Tous les exercices d'étude de fonctions reposent sur l'étude préalable de sa dérivée au lycée.

I. Nombre dérivé en x_0

1. Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x_0. On dit que f est dérivable en x_0 si la quantité \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} admet une limite finie quand h tend vers 0.
Cette limite est appelée nombre dérivé en x_0 et notée f'(x_0).



Remarque : Il ne faut pas écrire « \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} » si l'existence de cette limite n'a pas encore été justifiée.

2. Meilleure approximation affine

Théorème 1
f est dérivable en x_0 si et seulement si il existe un réel l tel que f(x_0+ h) = f(x_0) + l h + h\epsilon(h) avec \displaystyle \lim_0\epsilon=0.
Alors l = f'(x_0).



Remarque : on parle d'approximation affine car on remplace la fonction h \mapsto f(x_0+ h) par la fonction affine h \mapsto f(x_0) + f'(x_0)h.
L'erreur commise en effectuant ce remplacement est h \epsilon(h). Cette erreur n'est petite que lorsque h est très petit.

Exemples importants :
(1 + h)^2 = 1 + 2h + h\epsilon(h)
\dfrac{1}{1+h}=1-h + h\epsilon(h)
(1 + h)^3 =  1 + 3h + h\epsilon(h)
\sqrt{1 + h} = 1 + \dfrac{1}{2}h + h\epsilon(h)
avec \displaystyle \lim_0\epsilon=0.

3. Lien avec la notion de limite

Propriété 1
Si f est dérivable en x_0, alors f admet une limite finie en x_0.



Remarque : la réciproque est fausse !

4. Nombre dérivé à droite. Nombre dérivé à gauche

Définition
Si \displaystyle \lim_{^{h \to 0}_{h>0}} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} existe et est finie, on dit que f est dérivable à droite en x_0 et on note f'_d(x_0) cette limite, appelée « nombre dérivé à droite » en x_0.


On définit de façon similaire le nombre dérivé à gauche f'_g(x_0).
Dans le cas où l'expression de f(x) n'est pas la même avant et après x0 et si f admet une limite finie en x0 (qui est alors f(x_0)), alors :
Théorème 2
f est dérivable en x_0 si et seulement si f'_d(x_0) et f'_g(x_0) existent et sont égaux.



5. Interprétation graphique et mécanique

Propriété 2
S'il existe, le nombre dérivé f'(x_0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point M0(x_0, f(x_0)).



Remarque : Si f'_d(x_0) et f'_g(x_0) existent mais sont différents, la courbe admet deux demi-tangentes en M0 et fait un « angle » en ce point.

Propriété 3
Si x(t) désigne l'abscisse, à l'instant t, d'un point mobile se déplaçant sur un axe et si t \mapsto x(t) est dérivable en t_0, alors x'(t_0) est la vitesse instantanée du point mobile à l'instant t_0.



Remarque : Il ne faut pas confondre avec la vitesse moyenne entre t_0 et t_1 qui est \dfrac{x(t_1)-x(t_0)}{t_1-t_0}.


II. Fonction dérivée

1. Définition

La fonction dérivée est la fonction f ' : x \mapsto f '(x).

Remarque : il ne faut pas confondre le nombre dérivé f'(x) et la fonction dérivée f' (comme il ne faut pas confondre f(x) et f).

2. Propriétés

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur le même ensemble D, alors les fonctions suivantes sont dérivables et :
(au + bv)' = au' + bv' pour a, b réels quelconques
(uv)' = u'v + uv'
\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, aux points x tels que v(x) \neq 0
\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}, aux points x tels que v(x) \neq 0
(u^n)' = nu^{n-1}u' (n \in \mathbb{N}^{*})
\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'=\dfrac{-nu'}{u^{n+1}} (n \in \mathbb{N}^{*})
Si F(x) = u(ax + b), F'(x) = au'(ax+b) a,b réels quelconques

Propriété 4
Une fonction paire a une dérivée impaire.
Une fonction impaire a une dérivée paire.



Remarque : utiliser cette propriété comme vérification lorsqu'on dérive une fonction paire ou une fonction impaire.

3. Dérivées usuelles

f(x) f'(x) D_{f'}
a 0 \mathbb{R}
ax + b a \mathbb{R}
ax^2 + bx + c 2ax + b \mathbb{R}
x^n (n \in \mathbb{N}^{*}) nx^{n-1} \mathbb{R}
\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{x^2} \mathbb{R}^{*}
\dfrac{1}{x^n} (n \in \mathbb{N}^{*}) -\dfrac{n}{x^{n+1}} \mathbb{R}^{*}
\sqrt{x} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \mathbb{R}^{+*}
\sqrt{ax+b} \dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}} x \in \mathbb{R} / ax + b > 0
\cos x -\sin x x \in \mathbb{R}
\sin x \cos x x \in \mathbb{R}



III. Utilisation des dérivées

1. Sens de variation d'une fonction

Théorème 3
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors :
f est croissante sur I ssi pour tout x \in I, f'(x) \ge 0.
f est décroissante sur I ssi pour tout x \in I,  f'(x)\le 0.
f est constante sur I ssi pour tout x \in I, f'(x) = 0.



Remarque : ce théorème n'est valable que sur un intervalle. Par exemple la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} est décroissante sur \mathbb{R}^{-*} et sur \mathbb{R}^{+*}, mais pas sur \mathbb{R}^{*}.

2. Lien avec la notion de bijection

Théorème 4
Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle [a, b].
Si, pour tout x \in ]a, b[, f '(x) > 0, alors f réalise une bijection strictement croissante de [a, b] sur [f(a), f(b)].
Si, pour tout x \in ]a, b[, f '(x) < 0, alors f réalise une bijection strictement décroissante de [a, b] sur [f(b), f(a)].



Remarque :
On peut remplacer f(a) par \displaystyle \lim_{a}f et [a, b] par ]a, b], [f(a), f(b)] par ]\displaystyle \lim_{a}f, f(b)], lorsque f n'est pas définie en a mais admet en a une limite (finie ou infinie).
si f^{-1} est la bijection réciproque, alors f^{-1} a le même sens de variation que f.

3. Extrema d'une fonction

Théorème 5
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x_0.
Si f' s'annule en changeant de signe en x_0, alors f admet un extremum en x_0.



Remarque : dans ce cas, C_{f} admet une tangent horizontale en M0(x_0, f(x_0)).

4. Plan d'étude d'une fonction

Ensemble de définition Df.
Éventuelle parité ou périodicité (pour réduire l'ensemble d'étude).
Limites ou valeurs de f aux bornes des intervalles constituant Df et éventuelles asymptotes.
Existence et détermination de f' (en utilisant les opérations ou la définition) puis signe de f'(x).
Tableau de variation récapitulant les résultats précédents.
Recherche éventuelle d'un centre ou d'un axe de symétrie.
Tracé de la courbe après avoir placé :
          - les axes du repère avec la bonne unité ;
          - les points particuliers (tangente horizontale ou verticale, intersection avec les axes, ...) ;
          - les éventuelles asymptotes.
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