Dérivation et dérivée : Cours de maths
Pré requis
Pour ce chapitre, tu auras besoin de savoir manipuler correctement les expressions algébriques des fonctions et faire des opérations avec. Tu vas découvrir une nouvelle notion portant sur les fonctions de références vues en seconde et en début de 1ère. Tu dois donc avoir très bien compris les propriétés calculatoires et géométriques de ces fonctions et avoir en tête leur représentations graphiques.
Enjeu
Le but de ce chapitre est de permettre d'étudier les variations des fonctions d'une façon beaucoup plus simple et rapide que ce que tu as été amené à faire jusqu'à présent. Cette notion sera utilisée et complétée en terminale (avec les nouvelles fonctions qui seront étudiées) et dans le supérieur. Tous les exercices d'étude de fonctions reposent sur l'étude préalable de sa dérivée au lycée.
I. Nombre dérivé en
1. Définition
Soit
une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant
. On dit que
est dérivable en
si la quantité
admet une limite finie quand
tend vers 0.
Cette limite est appelée
nombre dérivé en
et notée
.
Remarque : Il ne faut pas écrire «
» si l'existence de cette limite n'a pas encore été justifiée.
2. Meilleure approximation affine
Théorème 1
est dérivable en
si et seulement si il existe un réel
tel que
avec
.
Alors
.
Remarque : on parle d'approximation affine car on remplace la fonction
par la fonction affine
.
L'erreur commise en effectuant ce remplacement est
. Cette erreur n'est petite que lorsque
est très petit.
Exemples importants :
avec
.
3. Lien avec la notion de limite
Propriété 1
Si
est dérivable en
, alors
admet une limite finie en
.
Remarque : la réciproque est fausse !
4. Nombre dérivé à droite. Nombre dérivé à gauche
Définition
Si
existe et est finie, on dit que
est dérivable à droite en et on note
cette limite, appelée «
nombre dérivé à droite » en
.
On définit de façon similaire le nombre dérivé à gauche
.
Dans le cas où l'expression de f(x) n'est pas la même avant et après x
0 et si f admet une limite finie en x
0 (qui est alors
), alors :
Théorème 2
est dérivable en
si et seulement si
et
existent et sont égaux.
5. Interprétation graphique et mécanique
Propriété 2
S'il existe, le nombre dérivé
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de
au point M
0(
,
).
Remarque : Si
et
existent mais sont différents, la courbe admet deux demi-tangentes en M
0 et fait un « angle » en ce point.
Propriété 3
Si
désigne l'abscisse, à l'instant
, d'un point mobile se déplaçant sur un axe et si
est dérivable en
, alors
est la vitesse instantanée du point mobile à l'instant
.
Remarque : Il ne faut pas confondre avec la vitesse moyenne entre
et
qui est
.
II. Fonction dérivée
1. Définition
La fonction dérivée est la fonction
.
Remarque : il ne faut pas confondre le nombre dérivé
et la fonction dérivée
(comme il ne faut pas confondre
et
).
2. Propriétés
Si
et
sont deux fonctions dérivables sur le même ensemble D, alors les fonctions suivantes sont dérivables et :
pour , réels quelconques |
|
, aux points tels que |
, aux points tels que |
() |
() |
Si , , réels quelconques |
Propriété 4
Une fonction paire a une dérivée impaire.
Une fonction impaire a une dérivée paire.
Remarque : utiliser cette propriété comme vérification lorsqu'on dérive une fonction paire ou une fonction impaire.
3. Dérivées usuelles
III. Utilisation des dérivées
1. Sens de variation d'une fonction
Théorème 3
Soit
une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors :
est croissante sur I ssi pour tout
I,
.
est décroissante sur I ssi pour tout
I,
.
est constante sur I ssi pour tout
I,
.
Remarque : ce théorème n'est valable que sur un intervalle. Par exemple la fonction
est décroissante sur
et sur
, mais pas sur
.
2. Lien avec la notion de bijection
Théorème 4
Soit
une fonction dérivable sur l'intervalle [a, b].
Si, pour tout
]a, b[,
, alors
réalise une bijection strictement croissante de [a, b] sur [
(a),
(b)].
Si, pour tout
]a, b[,
, alors
réalise une bijection strictement décroissante de [a, b] sur [
(b),
(a)].
Remarque :
On peut remplacer
(a) par
et [a, b] par ]a, b], [
(a),
(b)] par ]
,
(b)], lorsque
n'est pas définie en a mais admet en a une limite (finie ou infinie).
si
est la bijection réciproque, alors
a le même sens de variation que
.
3. Extrema d'une fonction
Théorème 5
Soit
une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant
.
Si
s'annule en changeant de signe en
, alors
admet un extremum en
.
Remarque : dans ce cas,
admet une tangent horizontale en M
0(
,
).
4. Plan d'étude d'une fonction
Ensemble de définition D
f.
Éventuelle parité ou périodicité (pour réduire l'ensemble d'étude).
Limites ou valeurs de
aux bornes des intervalles constituant D
f et éventuelles asymptotes.
Existence et détermination de
(en utilisant les opérations ou la définition) puis signe de
.
Tableau de variation récapitulant les résultats précédents.
Recherche éventuelle d'un centre ou d'un axe de symétrie.
Tracé de la courbe après avoir placé :
- les axes du repère avec la bonne unité ;
- les points particuliers (tangente horizontale ou verticale, intersection avec les axes, ...) ;
- les éventuelles asymptotes.