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Fiche de mathématiques






I. Nombre dérivé en x_0

1. Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x_0. On dit que f est dérivable en x_0 si la quantité \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} admet une limite finie quand h tend vers 0.
Cette limite est appelée nombre dérivé en x_0 et notée f'(x_0).



Remarque : Il ne faut pas écrire « \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} » si l'existence de cette limite n'a pas encore été justifiée.

2. Meilleure approximation affine

Théorème 1
f est dérivable en x_0 si et seulement si il existe un réel l tel que f(x_0+ h) = f(x_0) + l h + h\epsilon(h) avec \displaystyle \lim_0\epsilon=0.
Alors l = f'(x_0).



Remarque : on parle d'approximation affine car on remplace la fonction h \mapsto f(x_0+ h) par la fonction affine h \mapsto f(x_0) + f'(x_0)h.
L'erreur commise en effectuant ce remplacement est h \epsilon(h). Cette erreur n'est petite que lorsque h est très petit.

Exemples importants :
(1 + h)^2 = 1 + 2h + h\epsilon(h)
\dfrac{1}{1+h}=1-h + h\epsilon(h)
(1 + h)^3 =  1 + 3h + h\epsilon(h)
\sqrt{1 + h} = 1 + \dfrac{1}{2}h + h\epsilon(h)
avec \displaystyle \lim_0\epsilon=0.

3. Lien avec la notion de limite

Propriété 1
Si f est dérivable en x_0, alors f admet une limite finie en x_0.



Remarque : la réciproque est fausse !

4. Nombre dérivé à droite. Nombre dérivé à gauche

Définition
Si \displaystyle \lim_{^{h \to 0}_{h>0}} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} existe et est finie, on dit que f est dérivable à droite en x_0 et on note f'_d(x_0) cette limite, appelée « nombre dérivé à droite » en x_0.


On définit de façon similaire le nombre dérivé à gauche f'_g(x_0).
Dans le cas où l'expression de f(x) n'est pas la même avant et après x0 et si f admet une limite finie en x0 (qui est alors f(x_0)), alors :
Théorème 2
f est dérivable en x_0 si et seulement si f'_d(x_0) et f'_g(x_0) existent et sont égaux.



5. Interprétation graphique et mécanique

Propriété 2
S'il existe, le nombre dérivé f'(x_0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point M0(x_0, f(x_0)).



Remarque : Si f'_d(x_0) et f'_g(x_0) existent mais sont différents, la courbe admet deux demi-tangentes en M0 et fait un « angle » en ce point.

Propriété 3
Si x(t) désigne l'abscisse, à l'instant t, d'un point mobile se déplaçant sur un axe et si t \mapsto x(t) est dérivable en t_0, alors x'(t_0) est la vitesse instantanée du point mobile à l'instant t_0.



Remarque : Il ne faut pas confondre avec la vitesse moyenne entre t_0 et t_1 qui est \dfrac{x(t_1)-x(t_0)}{t_1-t_0}.


II. Fonction dérivée

1. Définition

La fonction dérivée est la fonction f ' : x \mapsto f '(x).

Remarque : il ne faut pas confondre le nombre dérivé f'(x) et la fonction dérivée f' (comme il ne faut pas confondre f(x) et f).

2. Propriétés

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur le même ensemble D, alors les fonctions suivantes sont dérivables et :
(au + bv)' = au' + bv' pour a, b réels quelconques
(uv)' = u'v + uv'
\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, aux points x tels que v(x) \neq 0
\left(\dfrac{1}{v}\right)'=\dfrac{-v'}{v^2}, aux points x tels que v(x) \neq 0
(u^n)' = nu^{n-1}u' (n \in \mathbb{N}^{*})
\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'=\dfrac{-nu'}{u^{n+1}} (n \in \mathbb{N}^{*})
Si F(x) = u(ax + b), F'(x) = au'(ax+b) a,b réels quelconques

Propriété 4
Une fonction paire a une dérivée impaire.
Une fonction impaire a une dérivée paire.



Remarque : utiliser cette propriété comme vérification lorsqu'on dérive une fonction paire ou une fonction impaire.

3. Dérivées usuelles

f(x) f'(x) D_{f'}
a 0 \mathbb{R}
ax + b a \mathbb{R}
ax^2 + bx + c 2ax + b \mathbb{R}
x^n (n \in \mathbb{N}^{*}) nx^{n-1} \mathbb{R}
\dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{x^2} \mathbb{R}^{*}
\dfrac{1}{x^n} (n \in \mathbb{N}^{*}) -\dfrac{n}{x^{n+1}} \mathbb{R}^{*}
\sqrt{x} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \mathbb{R}^{+*}
\sqrt{ax+b} \dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}} x \in \mathbb{R} / ax + b > 0
\cos x -\sin x x \in \mathbb{R}
\sin x \cos x x \in \mathbb{R}



III. Utilisation des dérivées

1. Sens de variation d'une fonction

Théorème 3
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors :
f est croissante sur I ssi pour tout x \in I, f'(x) \ge 0.
f est décroissante sur I ssi pour tout x \in I,  f'(x)\le 0.
f est constante sur I ssi pour tout x \in I, f'(x) = 0.



Remarque : ce théorème n'est valable que sur un intervalle. Par exemple la fonction x \mapsto \dfrac{1}{x} est décroissante sur \mathbb{R}^{-*} et sur \mathbb{R}^{+*}, mais pas sur \mathbb{R}^{*}.

2. Lien avec la notion de bijection

Théorème 4
Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle [a, b].
* Si, pour tout x \in ]a, b[, f '(x) > 0, alors f réalise une bijection strictement croissante de [a, b] sur [f(a), f(b)].
* Si, pour tout x \in ]a, b[, f '(x) < 0, alors f réalise une bijection strictement décroissante de [a, b] sur [f(b), f(a)].



Remarque :
* On peut remplacer f(a) par \displaystyle \lim_{a}f et [a, b] par ]a, b], [f(a), f(b)] par ]\displaystyle \lim_{a}f, f(b)], lorsque f n'est pas définie en a mais admet en a une limite (finie ou infinie).
* si f^{-1} est la bijection réciproque, alors f^{-1} a le même sens de variation que f.

3. Extrema d'une fonction

Théorème 5
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x_0.
Si f' s'annule en changeant de signe en x_0, alors f admet un extremum en x_0.



Remarque : dans ce cas, C_{f} admet une tangent horizontale en M0(x_0, f(x_0)).

4. Plan d'étude d'une fonction

* Ensemble de définition Df.
* Éventuelle parité ou périodicité (pour réduire l'ensemble d'étude).
* Limites ou valeurs de f aux bornes des intervalles constituant Df et éventuelles asymptotes.
* Existence et détermination de f' (en utilisant les opérations ou la définition) puis signe de f'(x).
* Tableau de variation récapitulant les résultats précédents.
* Recherche éventuelle d'un centre ou d'un axe de symétrie.
* Tracé de la courbe après avoir placé :
          - les axes du repère avec la bonne unité ;
          - les points particuliers (tangente horizontale ou verticale, intersection avec les axes, ...) ;
          - les éventuelles asymptotes.




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