Fiche de mathématiques

Exercices faciles de seconde

exercice 1

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par f : x $\mapsto$ 3x - 2.
Etudier le sens de variations de la fonction f sur $\mathbb{R}$ puis dresser le tableau de variations de cette fonction f.

exercice 2

Est-ce qu'une fonction qui n'est pas croissante sur un intervalle I, est décroissante sur I ?

exercice 3

Une fonction f, définie sur $\mathbb{R}$ , admet le tableau de variations suivant :
$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x & -\infty & \hspace{25pt} & 2 & \hspace{25pt} & +\infty \\ \hline \hspace{1pt} & & & & & \\ f(x)& & \searrow & & \nearrow & \\ \hspace{1pt} & & & 1 & & \\ \hline \end{array}$

1. Démontrer que, pour tout réel x, on a f(x) > 0

2. Résoudre l'inéquation f(x) $\geq$ 1

exercice 4

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par f : x $\mapsto$ 2|x|.
Étudier le sens de variation et dresser le tableau de variations de la fonction f.

exercice 5

Compléter :
Si -2 < x < 3, alors ...... x² ......

exercice 6

Dresser le tableau de variations de la fonction f : $x$ $\mapsto -\dfrac{x}{2}$ définie sur $\mathbb{R}$ .
Puis la représenter graphiquement.

exercice 7

Résoudre graphiquement le système d'équations suivant :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & 3x^2 \\ y & 2 - x \\ \end{array} \right.$

exercice 8

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation x² < 3.
a) par le calcul,
b) graphiquement.

exercice 9

1. Montrer que pour tous rééls $a$ et $b$ positifs, $-\sqrt{a}+\sqrt{b} = \dfrac{b-a}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur [0; + $\infty$ [ par f : $x \mapsto -\sqrt{x}$ et la représenter graphiquement.

exercice 10

Etudier la parité de la fonction f définie sur [0; + $\infty$ [ par f : $x \mapsto \sqrt{2x}$ .

exercice 11

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ ^* par $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .

1. Quels sont les réels x tels que f(x) > 10⁶ ?

2. Quels sont les réels x tels que f(x) < 10⁵ ?

3. Quels sont les réels x tels que 0 < f(x) < 10^-4 ?

exercice 12

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ ^* par $f(x)=-\dfrac{2}{x}$ .

1. Etudier les variations de la fonction f sur ]0; + $\infty$ [.

2. Etudier la parité de la fonction f et en déduire les variations de la fonction f sur ]- $\infty$ ; 0[.

3. Dresser le tableau de variations de la fonction f et la représenter graphiquement.

exercice 13

Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}$ le système d'équations suivant :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y & \frac{3}{x} \\ y & x - 2 \\ \end{array} \right.$

exercice 14

Démontrer que pour tout réel x, on a :
(sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x cos x

exercice 15

ABCD est un parallélogramme articulé tel que la mesure x en radians de $\widehat{ADC}$ varie entre 0 et $\dfrac{\pi}{2}$ .
La tige [AD] est fixe. On donne AD = 3 et AB = 2.

1. Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ du parallélogramme en fonction de x.

2. Comment choisir x pour avoir $\mathcal{A}$ = 4 ? (arrondir au degré près)

Correction

exercice 1

Pour tout réel x, f(x) = 3x - 2
f est une fonction affine de coefficient directeur 3, strictement positif.
Donc f est croissante sur $\mathbb{R}$ .

OU Soient a et b deux rééls tels que a < b.
On a :
f(a) - f(b) = 3a - 2 - (3b - 2) = 3a - 2 - 3b + 2 = 3(a - b)
Comme a < b, alors a - b < 0.
Donc 3(a - b) < 0.
Conclusion : Pour tous rééls a et b tels que a < b, f(a) - f(b) < 0, soit f(a) < f(b).
La fonction f est donc croissante sur $\mathbb{R}$ .

$\begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline \textrm{variations de la fonction f}& & \nearrow &\\ \hline \end{array}$

exercice 2

NON, une fonction qui n'est pas croissante sur un intervalle I n'est pas nécessairement décroissante; elle peut être constante (exemple : f(x) = 4) ou ni croissante, ni décroissante (exemple : f(x) = cos(x) sur I = [0: 2 $\pi$ ]).

exercice 3

1. Le minimum de la fonction f est atteint en 2 et vaut 1.
Donc pour tout réel x, f(x) $\ge$ 1 (définition du minimum), donc en particulier f(x) > 0.

2. L'inéquation f(x) $\ge$ 1 a donc comme ensemble de solutions : $\mathcal{S} = \mathbb{R}$ .

exercice 4

Pour tout réel x, f(x) = 2|x|.
Donc, pour tout réel x, $f(x) = \left \lbrace \begin{array} \array{2x \text{ si } x \ge 0\\-2x \text{ si } x < 0\\ \end{array} \right.$
Sur ]- $\infty$ ; 0], f est une fonction linéaire de coefficient négatif.
Donc f est décroissante sur ]- $\infty$ ; 0].
Sur [0; + $\infty$ [, f est une fonction linéaire de coefficient directeur positif.
Donc f est croissante sur [0; + $\infty$ [.

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-\infty&&0&&+\infty\\\hline\textrm{variations de f}&&\searrow&_0&\nearrow&\\\hline\end{array}$

exercice 5

quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 2

Si -2 < x < 3 :
f(x) varie sur la portion de courbe délimitée par A et B. Les valeurs de f(x) sont donc comprises entre 0 et 9.
Conclusion : si -2 < x < 3, on a 0 $\le$ x² < 9.

exercice 6

Pour tout réel $x \hspace{5pt} f(x) = -\dfrac{x}{2}$ .
f est une fonction linéaire de coefficient $-\dfrac{1}{2}$ , strictement négatif.
Donc f est décroissante sur $\mathbb{R}$ .

$\begin{array}{|c|ccc|}\hline x&-\infty&&+\infty\\\hline\textrm{variations de f}&&\searrow&\\\hline\end{array}$

Représentation graphique
f(2) = $-\dfrac{2}{2}$ = -1 et f(-4) = $-\dfrac{-4}{2}$ = 2.
Donc les points A(2; -1) et B(4; 2) appartiennent à la représentation graphique de la fonction f.
quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 3

quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 3

exercice 7

Pour représenter graphiquement le système, il faut tracer les deux courbes d'équation y = 3x² (en rouge) et g(x) = 2 - x (en vert).

quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 4

quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 4

Les solutions de ce système sont les points d'intersection de ces deux courbes.
Donc : graphiquement on obtient $\mathcal{S}$ = {-1; 0,6}.

exercice 8

a) x² < 3 équivaut successivement à
x² - 3 < 0
x² - ( racine

3)² < 0
(x - racine

3)(x +

3) < 0
x - racine

3 < 0 si x < racine

3
x +

3 < 0 si x < - racine

3

$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-\infty&&-\sqrt{3}&&\sqrt{3}&&+\infty\\\hline {(x-\sqrt{3})}&&-&&-&0&+&\\\hline {(x+\sqrt{3})}&&-&0&+&&+&\\\hline {(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}&&+&0&-&0&+&\\\hline\end{array}$
D'où $\mathcal{S} = ]-\sqrt{3}; \sqrt{3}[$ .

b) On trace la courbe représentative de la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par f(x) = x² et la droite d'équation y = 3. Les solutions de l'inéquation x² < 3 sont les abscisses des points de la courbe d'équation y = x² situés en dessous de la droite d'équation y = 3.

Représentation graphique :
quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 5

quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 5

$\mathcal{S} = ]-\sqrt{3}; \sqrt{3}[$ .

exercice 9

$f(x) = -\sqrt{x}$
1. Pour tous rééls a et b positifs, on a :
$-\sqrt{a}+\sqrt{b}=\dfrac{(-\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\\ -\sqrt{a}+\sqrt{b} = \dfrac{b-a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

2. Soient a et b deux réel positifs tels que 0 $\le$ a < b. On a :
$f(a) - f(b) = -\sqrt{a}+\sqrt{b} = \dfrac{b-a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ (d'après la question précédente)
Or, a < b, donc b - a > 0.
Comme $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$ sont deux nombres positifs, alors $\sqrt{a} + \sqrt{b} > 0$
Conclusion : pour tous rééls a et b positifs tels que 0 $\le$ a < b, f(a) > f(b).
La fonction f est donc décroissante sur [0;+ $\infty$ [.

quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 6

quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 6

représentation graphique de la fonction f

exercice 10

f est définie sur [0; $\infty$ [. Son ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0, donc la fonction f ne peut être ni paire ni impaire.

exercice 11

1.
$f(x) > 10^6 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{x} > 10^6\\ \Longleftrightarrow x < \dfrac{1}{10^6}\\ \Longleftrightarrow x < 10^{-6}$
D'où $\mathcal{S}$ = ]- $\infty$ ; 10^-6[.

2.
$f(x) < 10^5 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{x} < 10^5 \\ \Longleftrightarrow x > \dfrac{1}{10^5} \\ \Longleftrightarrow x > 10^{-5}$
D'où $\mathcal{S}$ = ]10^-5; + $\infty$ [.

3.
$0 < f(x) < 10^{-4} \Longleftrightarrow 0 < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{10^4} \\ \Longleftrightarrow x > 10^4$
D'où $\mathcal{S}$ = ]10⁴; + $\infty$ [.

exercice 12

1. Soient a et b deux réels de ]0; + $\infty$ [ tels que 0 < a < b. On a :
f(a) - f(b) = $-\dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{b} = \dfrac{-2b+2a}{ab} = \dfrac{2(a - b)}{ab}$
Comme a et b sont strictement positifs, alors ab > 0.
Comme a < b, alors a - b < 0.
Donc $\dfrac{2(a-b)}{ab} < 0$
C'est à dire f(a) - f(b) < 0.
Conclusion : Pour tous réels a et b de ]0; + $\infty$ [ tels que 0 < a < b, on a f(a) < f(b).
La fonction f est donc croissante sur ]0; + $\infty$ [.

2. Soient a et b deux réels de ]- $\infty$ ; 0[ tels que a < b < 0. On a :
f(a) - f(b) = $\frac{2(a-b)}{ab}$
Comme a et b sont strictement négatifs, alors ab > 0.
Comme a < b, alors a - b < 0.
Donc $\dfrac{2(a-b)}{ab} < 0$
C'est à dire f(a) - f(b) < 0
Conclusion : Pour tous réels a et b de ]- $\infty$ ; 0[ tels que a < b < 0, on a f(a) < f(b).
La fonction f est donc croissante sur ]0; + $\infty$ [.

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-\infty&&0&&+\infty\\\hline \textrm{variations}&&\nearrow&||&\nearrow&\\\hline \end{array}$

Remarque : f est une fonction impaire, donc la représentation graphique de la fonction f est symétrique par rapport à l'origine du repère.
quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 7

quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 7

exercice 13

$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} y&\dfrac{3}{x} \\ y&x-2 \\ \end{array} \right.$
Pour résoudre graphiquement ce système, on trace dans une repère orthonormal, la courbe $\mathcal{C}$ d'équation y = $\dfrac{3}{x}$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation y = x - 2.
Les solutions du système sont les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ .
quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 8

quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 8

$\mathcal{S} = \lbrace (-1,-3); (3, 1)\rbrace$

exercice 14

Pour tout réel x, (sin x + cos x)² = sin² x + 2 sin x cos x + cos² x.
Or cos² x + sin² x = 1 donc (sin x + cos x)² = 1 + 2sin x cos x

exercice 15

1. Pour déterminer l'aire du parallélogramme, il faut calculer la hauteur de celui-ci.
Soit H le projeté orthogonale de A sur (DC).
Dans le triangle ADH rectangle en H, on a :
$\sin(\widehat{\text{ADC}}) = \dfrac{\text{AH}}{\text{AD}}$ .
Soit : $\text{AH} = 3 \sin{x}$ .

Aire du parallèlogramme :
$\mathcal{A}$ = base × hauteur
$\mathcal{A}$ = AB × AH
$\mathcal{A}$ = 2 × $3 \sin{x}$
$\mathcal{A} = 6 \sin{x}$ .

2. Résoudre $\mathcal{A} = 4$ équivaut à résoudre $6 \sin{x} = 4$ soit encore $\sin{x} = \dfrac{2}{3}$ .
Comme $\widehat{\text{ADC}}$ est un angle aigu, alors x $\approx$ 42°.
quinze exercices divers d'évaluation du niveau de seconde - seconde : image 9