Enchaînements d'opérations

I. Priorités de calculs

1. calculs sans parenthèses

Règle n°1 :
Dans un calcul sans parenthèses, lorsqu'il n'y a que des additions et des soustractions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.

exemple :
A = 15 - 3 + 7
A = 12 + 7
A = 19

Règle n°2 :
Dans un calcul sans parenthèses, on effectue d'abord les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

exemples :
B = 2,4 + 3 × 5
B = 2,4 + 15
B = 17,4

C = 11 - 12 : 3
C = 11 - 4
C = 7

remarque : on peut aussi écrire C = $\text{[math]}$

2. calculs avec parenthèses

Règle n°3 :
Dans un calcul avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

exemple :
D = 15 - (8,2 + 4,8)
D = 15 - 13
D = 2

E = 5 × (3 + (12 - 10))
E = 5 × (3 + 2)
E = 5 × 5
E = 25

remarque : en écriture fractionnaire, la barre de fractions tient lieu de parenthèses.
exemples :
$\text{[math]}$ s'écrit aussi (8,3 + 2,5) : 6
$\text{[math]}$ s'écrit aussi 4 500 : (728 + 712)

II. Ecriture simplifiée

Quand il n'y a pas de confusion possible, le signe × peut être supprimé.
exemple :
7 × a peut s'écrire 7a
4 × (x - 5) peut s'écrire 4(x - 5). On lit "4 facteur de x moins 5".

remarque : 1 × a = a

Le produit a × a peut s'écrire a² (on lit : "a au carré").
exemple : 4 × 4 = 4² = 16

III. Distributivité

Pour tous nombres a, b et k, on a :

k × (a + b) = k × a + k × b
et
k × a + k × b = k × (a + b)

On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition.

De même, pour tous nombres a, b et k, on a :

k × (a - b) = k × a - k × b
et
k × a - k × b = k × (a - b)

On dit que la multiplication est distributive par rapport à la soustraction.

On peut appliquer ces égalités :
- pour transformer un produit en une somme :
F = 12 × 110
F = 12 × (100 + 10)
F = 12 × 100 + 12 × 10
F = 1 200 + 120
F = 1 320

G = 25 × 900
G = 25 × (1 000 - 100)
G = 25 × 1 000 - 25 × 100
G = 25 000 - 2 500
G = 22 500

- pour transformer une somme en un produit :
H = 137 × 5,62 + 137 × 4,38
H = 137 × (5,62 + 4,38)
H = 137 × 10
H = 1 370

I = 125 × 8 - 125 × 7,99
I = 125 × (8 - 7,99)
I = 125 × 0,01
I = 1,25