Définition de Normes :
Définition :
Proposition :
Si

est une norme sur E, alors pour tout
 \in \text{E}^2)
, on a :
Normes de K-algèbre :
Soit (E,+,×,.) une

-algèbre.
Une application N : E

est dite une norme d'algèbre ssi :
- N est une norme de
-ev (E,+,.)
 \in\text{E}^2) : N(xy) \leq N(x) N(y))
Normes Equivalentes :
Soit

et

deux normes sur

, on dit qu'elles sont équivalentes ssi :
Notion de distance :
Définition :
Définition :
L'application

définit par
 = N(x-y))
est une distance sur l'evn

de norme

.
On l'appelle la distance associée à la norme

.
Proposition :
Soit

la distance sur

associée à la norme

, alors :
 \in E^3\right) \left(\forall \lambda \in K\right))
, on a :
Proposition - Définition :
Soit

et

une partie non vide de

, le nombre
 = inf \lbrace N(x-a)/a \in A \rbrace )
existe dans

et on l'appelle la distance de

à

.
Proposition :
Soit

une partie non vide de

, pour tout
 \in E^2)
on a :
Boules Ouvertes - Boules Fermées - Sphères :
Définitions :
Quelques Normes usuelles :
, pour
, on pose :
 = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} |x_{k}| \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{2}(x) = (\displaystyle \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^2)^{1/2} \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{\infty}(x) = Max_{1 \leq k \leq n} |x_{k}|)
pour
on pose :
=\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{N}} |a_{k}| \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{2}(P)= (\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{N}} |a_{k}|^2)^{1/2} \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{\infty}(P) = Max_{k\in N}|a_{k}|)
pour
, on pose :
![N_{1}(f) = \displaystyle \int_{a}^{b} |f(t)| dt \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{2}(f) = \left(\displaystyle \int_{a}^{b} |f(t)|^2dt\right)^{1/2} \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{\infty}(f) = Sup_{t \in [a,b]}|f(t)|](http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?N_{1}(f) = \displaystyle \int_{a}^{b} |f(t)| dt \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{2}(f) = \left(\displaystyle \int_{a}^{b} |f(t)|^2dt\right)^{1/2} \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{\infty}(f) = Sup_{t \in [a,b]}|f(t)|)
, le module
est une norme sur
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Panter Panter 
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