Fiche de mathématiques

topologie

Normes sur un K-espace vectoriel

$\mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}$

Définition de Normes :

Définition :

On appelle norme sur E toute application $\text{N} : \mathbb{R} \right \mathbb{R}$ tel que :

$\left( \forall x \in \text{E} \right) : \text{N}(x) \geq 0$
$\left( \forall x \in \text{E} \right) : \text{N}(x) = 0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}$
$\left(\forall x \in \text{E}\right) \left(\forall \lambda \in \mathbb{R}\right) : \text{N}(\lambda x) = \|\lambda \| \text{N}(x)$
$\left(\forall (x,y) \in \text{E}^2 ) : \text{N}(x+y) \leq \text{N}(x) + \text{N}(y)$

Proposition :

Si $N$ est une norme sur E, alors pour tout $(x,y) \in \text{E}^2$ , on a :
$| N(x) - N(y) | \leq N(x-y)$

Normes de K-algèbre :

Soit (E,+,×,.) une $K$ -algèbre.
Une application N : E $\right \mathbb{R}$ est dite une norme d'algèbre ssi :

N est une norme de $K$ -ev (E,+,.)
$(\forall (x,y) \in\text{E}^2) : N(xy) \leq N(x) N(y)$

Normes Equivalentes :

Soit $N_{1}$ et $N_{2}$ deux normes sur $E$ , on dit qu'elles sont équivalentes ssi :
$(\exists (\alpha,\psi)\in \mathbb{R}^{*+}) \; : \; \alpha N_{1}(x) \leq N_{2}(x) \leq \psi N_{1}(x)$

Notion de distance :

Définition :

On appelle distance sur un ensemble non vide $X$ toute application $D:X^3 \rightarrow \mathbb{R}$ telle que :

$\left(\forall (x,y) \in X^2\right) \; : \; D(x,y) \geq 0$
$\left(\forall (x,y) \in X^2\right) \; : \; D(x,y) = 0 \text{ ssi } y = x$
$\left(\forall (x,y) \in X^2\right) \; : \; D(x,y) = D(y,x)$
$\left(\forall (x,y,z) \in X^3\right) \; : \; D(x,y) \leq D(x,z) + D(z,y)$

Définition :

L'application $d : E \times E \rightarrow \mathbb{R}$ définit par $d(x,y) = N(x-y)$ est une distance sur l'evn $E$ de norme $N$ .
On l'appelle la distance associée à la norme $N$ .

Proposition :

Soit $d$ la distance sur $E$ associée à la norme $N$ , alors : $\left(\forall (x,y,z) \in E^3\right) \left(\forall \lambda \in K\right)$ , on a :

$d(x+z,y+z) = d(x,y)$
$d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda|d(x,y)$

Proposition - Définition :

Soit $x \in E$ et $A$ une partie non vide de $E$ , le nombre $d(x,A) = inf \lbrace N(x-a)/a \in A \rbrace$ existe dans $\mathbb{R}$ et on l'appelle la distance de $x$ à $A$ .

Proposition :

Soit $A$ une partie non vide de $E$ , pour tout $(x,y) \in E^2$ on a : $|d(x,A) - d(y,A)| \leq N(x-y)$

Boules Ouvertes - Boules Fermées - Sphères :

Définitions :

Soit $a \in E$ et $r > 0$

On appelle boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble : $B(a,r) = \lbrace x \in E/N(x-a) < r\rbrace$
On appelle boule fermée de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble : $B_{f}(a,r)=\lbrace x\in E/N(x-a) \le r\rbrace$
On appelle sphère de centre $a$ et de rayon $r$ l'ensemble : $S(a,r)=\lbrace x \in E/N(x-a)=r\rbrace$

Quelques Normes usuelles :

$E = K^n \; (n \in \mathbb{N} - \lbrace 0,1\rbrace )$ , pour $x = (x_{1},...,x_{n}) \in K^n$ , on pose :
$N_{1}(x) = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} |x_{k}| \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{2}(x) = (\displaystyle \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^2)^{1/2} \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{\infty}(x) = Max_{1 \leq k \leq n} |x_{k}|$
$E = K[x]$ pour $P = \displaystyle \sum_{k \in \mathbb{N}} a_{k}x^k$ on pose :
$N_{1}(P)=\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{N}} |a_{k}| \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{2}(P)= (\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{N}} |a_{k}|^2)^{1/2} \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{\infty}(P) = Max_{k\in N}|a_{k}|$
$E = C^0([a,b],K)$ pour $f \in E$ , on pose :
$N_{1}(f) = \displaystyle \int_{a}^{b} |f(t)| dt \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{2}(f) = \left(\displaystyle \int_{a}^{b} |f(t)|^2dt\right)^{1/2} \hspace{5pt} , \hspace{5pt} N_{\infty}(f) = Sup_{t \in [a,b]}|f(t)|$
$E = K$ , le module $|.|$ est une norme sur $K$

Merci à Panter

pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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