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ImprimerNormes sur un K-espace vectoriel
Définition de Normes :
Définition :
On appelle norme sur E toute application
tel que :
On appelle norme sur E toute application
Proposition :
Si
est une norme sur E, alors pour tout  \in \text{E}^2)
, on a :
 - N(y) | \leq N(x-y))
Si
Normes de K-algèbre :
Soit (E,+,×,.) une 
-algèbre.
Une application N : E
est dite une norme d'algèbre ssi :
Une application N : E
- N est une norme de
Normes Equivalentes :
Soit 
et 
deux normes sur 
, on dit qu'elles sont équivalentes ssi :
\in \mathbb{R}^{*+}) \; : \; \alpha N_{1}(x) \leq N_{2}(x) \leq \psi N_{1}(x))
Notion de distance :
Définition :
On appelle distance sur un ensemble non vide
toute application 
telle que :
On appelle distance sur un ensemble non vide
Définition :
L'application
définit par  = N(x-y))
est une distance sur l'evn de norme .
On l'appelle la distance associée à la norme.
L'application
On l'appelle la distance associée à la norme
Proposition :
Soit
la distance sur associée à la norme , alors :  \in E^3\) \(\forall \lambda \in K\))
, on a :
Soit
Proposition - Définition :
Soit
et 
une partie non vide de , le nombre  = inf \{ N(x-a)/a \in A \})
existe dans 
et on l'appelle la distance de 
à .
Soit
Proposition :
Soit une partie non vide de , pour tout  \in E^2)
on a :  - d(y,A)| \leq N(x-y))
Soit
Boules Ouvertes - Boules Fermées - Sphères :
Définitions :
Soit
et 
Soit
- On appelle boule ouverte de centre
et de rayon
l'ensemble :
- On appelle boule fermée de centre
- On appelle sphère de centre
Quelques Normes usuelles :
, pour
, on pose :
pour
on pose :
pour
, on pose :
, le module
est une norme sur
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