bien sûr en tant que K- et -module, resprectivement.

Bonsoir Ju007

Le premier est un espace vectoriel donc il admet une base donc c'est un module libre.
Pour le deuxième, je réfléchis.

Kaiser

Bonsoir Kayser,

oui c'est vrai, tu as raison pour le premier. Tout espace vectoriel admet une base... c'est con.

Merci de te pencher sur mon cas.

Pour le deuxième l'idée c'est que s'il y avait une base une suite diagonale ne peut pas se décomposer dessus (c'est un peu long à écrire ) et j'ai la flemme.

Euh mais s'il y a base, elle n'st pas forcément dénombrable si ?

Il y a comme un problème avec ta question.

Un -module libre est par définition un module isomorphe à un pour un certain (du moins pour le cas de type fini).

OK. J'y suis, je n'avais pas vu la puissance...

Un A-module libre est un module de la forme :

où L est un ensemble... toutes mes excuses

Par contre une base d'un ev n'est pas forcément dénombrable (ce sera le cas avec , sa dimension n'est pas dénombrable : argument diagonal de Cantor)

Bonjour tringlarido,

ouep je suis d'accord avec toi (pour le second post)

mais ça ne répond toujours pas à ma seconde question (quand est-il pour Z^ ? )

Personne ?

Je suis vraiment étonné par ce résultat (s'il est vrai...).

Posons, alors est un espace vectoriel, et admet donc une base (et même plein de bases). Cependant aucune de ses bases ne remontent sur . Ceci revient à dire que dans la base, il y a forcément des vecteurs dont le dénominateur de ses éléments n'est pas borné !

La seule condition que j'ai trouvé sur les vecteurs d'une base potentielle de est la suivante. Pour on pose :



La limite est bien définie car la suite est décroissante (c'est un inf).

proposition :
Si fait parti d'une base de , alors pour tout i, est 1 ou infini. Le cas infini correspond au cas où tous les sont nuls.


J'espérai aboutir à une contradiction avec ça, mais ça n'a pas encore aboutit...

As-tu des pistes de recherche ?

Une deuxième piste :

Les modules libres ont la propriété de représenter le foncteur d'oubli. C'est-à-dire, si alors :



Pour tout -module M.
(à gauche les morphismes de modules, à droite les applications entre ensembles)

Cette propriété caractérise en fait le module A. J'espérais donc trouver le bon module M qui fait foirer cette propriété, mais je l'ai pas encore trouvé.