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Adjoint d'un endomorphisme//similitude
Bonsoir à tous,
Je bloque sur un exo de TD :
soit u un endomorphisme, Le sujet me dit que u de E est une similitude si et seulement si il existe
0 et v un endomorphisme orthogonal tel que u=v.
je dois montrer que : u est une similitude
il existe un réel 
>0 tel que u* u = Id (u* est l'adjoint de u)
Egalement, on me demande aussi de montrer que si u est une similitude alors u conserve l'orthogonalité c'est à dire que (x|y)=O(u(x)|u(y))=0
Voila, je vous remercie de m'éclairer et bonne journée.
Sans garanti, pour l'implication, comme alors si
est la rotation vectoriel d'angle
alors sont adjoint est d'angle
(encore faut il que
soit le plan euclidien, quoique). Donc la composée donne bien l'identidé au facteur
.
Pour la réciproque, comme et en particulier si
est involution (donc un autoadjoint) alors
donc u est une similitude.
Pour la seconde équivalence, le produit scalaire étant bilinéaire et définie, tu remplaces par
et ça devrait suffire ?
A confirmer 
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