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Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 13-11-09 à 03:26

Oups donc pour une notation correcte j'aurais du écrire que c'est égale ) 3$Id_{\cal{P}(E)}(A) ?

Dans l'autre sens, 3$f(A) est un élément de 3$\cal{P}(F}, en fait je ne vois pas comment utiliser l'hypothèse du coup je bloque ..

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 13-11-09 à 03:28

Ok, alors un coup de pouce :
Montrons =>.
On suppose alors que pour toute partie A de E, 3$f^{-1}\circ f=Id_{\cal{P}(E)}
Soit x,y des élements de E tels que f(x)=f(y). Montrons que x=y.
Considere les ensembles {x} et {y}. Que peux-tu dire ?

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 13-11-09 à 03:38

Ah c'était pas fini ? je pensais qu'on pouvais conclure directement ..

Ben alors pour continuer dans le sens => :

Soit x,y des élements de E tels que f(x)=f(y) : f^{-1}\circ f(\{x\})=Id_{\cal{P}(E)}

Il se fait vraiment tard et il faut que tu sois en forme demain.

C'est vraiment très gentil de ta part de m'avoir aider et en plus jusqu'à cet heure ci.

Bonne nuit, et à bientôt Merci pour tout !

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 13-11-09 à 03:39

Mais, je suis en train de me poser une question bete la. La proposition que tu m'as montré dans le message de 1h54, tu l'as déjà démontré ?

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 13-11-09 à 03:45

J'ai regardé et oui, bien que je ne comprend pas la démo -Il parle de l'axiome de choix, de fibre (Pour le b)-

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 13-11-09 à 03:46

Bon aller, je termine juste ca et j'y vais.
Supposons f(x)=f(y) avec x,y dans E. Montrons x=y.
Donc on a par hypothese que 3$ \{x\}=f^{-1}\circ f(\{x\})=f^{-1}(\{f(x)\})=f^{-1}(\{f(y)\})=f^{-1}\circ f(\{y\})=\{y\} ainsi x=y et f est injective.

Sur ce, bonne chance pour demain et bonne nuit.

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 13-11-09 à 03:46

Ah, forcement, axiome du choix etc... c'est pas pour maintenant : )

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 13-11-09 à 03:48

Oyé c'était donc si simple .. J'ai un peu honte de moi pour le coup .

Merci, bonne nuit toi aussi merci Et pour la 5 eme fois au moins merci pour tout je me répète mais c'est vraiment sympa de ta part

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 13-11-09 à 12:51

Salut

Pas trop dans le coltard ? ^^

Si tu veux savoir mon contrôle était carrément trop chaud je me suis viandé comme jamais je vais poster ce soir je pense le sujet dans mon topic sur les Khôlles (Je posterais un lien d'ici qui va vers ce topic).

Merci pour tout

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 13-11-09 à 17:15

Salut : )
Non non tout va bien. Je viens de finir ma journée tranquillement.

Je suis désolé pour ton DS...
En tout cas, si jamais tu veux continuer cet exercice, n'hesite pas.

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 13-11-09 à 20:47

Ah cool

Ben c'est pas grave, c'est mon premier vrai DS de maths de prépa et je ne m'attendais pas à de grand miracle non plus ^^

Merci pour la proposition et j'accepte volontier mais j'ai un week-end bien charger donc je ne reviendrais pas avant dimanche soir sur le topic je pense, juste pour te dire que je ne laisse pas le topic de côté quoi

:smiley!

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 19-11-09 à 13:04

Salut

Je n'ai pas abandonné le topic hein ^^ J'ai juste une tonne de travail cette semaine, ça ira mieux la semaine prochaine donc si ta proposition tient toujours je suis toujours partant

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 20-11-09 à 23:28

Alors si tu es toujours partant, je remets juste au clair qu'il faut démontrer pour conclure :
On considère une fonction f de E dans F.

1) Montre que pour toute partie 3$ \forall A\in\mathcal{P}(E), \ A\subset f^{-1}(f(A))
2) Montre que f est injective si et seulement si 3$ \forall A\in\mathcal{P}(E) \ A=f^{-1}(f(A))

3) Montre que pour toute partie B de 3$ \mathcal{P}(F), \ f(f^{-1}(B))\subset B
4) Montre que f est surjective si et seulement si 3$ \forall B\in\mathcal{P}(F) \ B=f^{-1}(f(B))

C'est pas compliqué, il faut juste y aller tranquillement et faire ca posement.
( Bien sur tu fais ca quand tu veux et tout ^^)

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 20-11-09 à 23:40

Merci pour ces pistes

Je vais regarder ça avec attention

(En tout cas pas pendant les 8 prochaines heures mais ce soir (ou plutôt demain soir) surement )

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 19:45

Salut

Voilà j'ai un peu de temps aujourdui

On a pas besoin de plus d'information sur la fonction ? Ca me paraît évident ce qu'il faut démontrer pourtant je ne pas de piste de départ ..

Je suis vraiment désolé de ne pas pouvoir faire avancer l'exercice

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 19:50

Salut Olive

Non, on a pas besoin de plus que tout ca normalement ^^

Dans tous les cas, il s'agit de probleme d'inclusion d'ensemble donc on procede par inclusion généralement.

1) Soit x \in A. Essaie de montrer que x \in f^{-1}(f(A)) pas à pas.

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 20:02

Merci de a réponse

Voilà ce que j'aurais tendance à dire :

Soit x un élément de A.

D'après la définition de l'application 3$f^{>} il existe un 3$y appartennant à Y tel que 3$f(x)=y.

Maintenant, je pense que 3$f^{<} est définie par 3$f^{<}: \{\ \cal{P}(Y) \ \longright \ \cal{P}(X) \\ \ \ \ \ \ Y \ \longright \ \{ \ x\in A|f(x)\in Y \ \}

De là je vois que on peut en faire quelque chose de ça puisque ça voudrait dire que 3$x\in f^{-1}(y) mais le problème c'est qu'on n'est pas sur que ce soit le même x et le même y non ?

Je viens de voir l'heure, je vais vite chercher à manger je reviens

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 20:11

En fait, comme je le disais la dernière fois, pour montrer tes 2 dernières questions ( équivalence avec f "chapeau" injective/surjective etc ) cela revient exactement à montrer ce que j'affirmais dans le poste de 20-11-09 à 23:28.
Mon poste a juste l'avantage de pas utiliser de notation loudre donnée par ton énoncé et d'avoir le raisonnement tout découper en étape.

Donc si tu veux : on peut montrer ce que je disais ou tout simplement reprendre ton exercice avec ces notations.

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 21:04

Ok, ben on peut continuer de montrer ce que tu disais dans ton poste que 23h38 si tu veux bien

Mais j'ai nouveau le regret de te dire que je n'arrive rien à faire .. Je pense que je vais te faire perdre plus de temps qu'autre chose là.

J'ai acheter un livre de maths, je vais bien lire le cours sur toutes ces notions, peut-être que ca va m'eclaircir les idées

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 21:41

Peut-être une idée :

Soit 3$x\in A, 3$f(x)\in f(A) donc 3$f^{1}\circ f(x)\in f^{-1}\circ f(A).

Et comme 3$x est un élément quelquonque de 3$A alors 3$A\subset f^{-1}\circ f(A).

Alors ?

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 21:43

Euh en relisant ça je vois que je ne prouve rien ..

C'est reparti .. ^^

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 22:15

Oui ca commence bien !
f(x) appartient donc à f(A), maintenant pourquoi est ce qu'on peut en conclure que x appartient à f(A) ?

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 22:17

que x appartient à f-1(f(A)) ?

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 22:26

Car f(A) c'est l'ensemble des éléments y de F tel qu'il existe x appartenant à A pour lesquels y=f(x) ?

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 22:28

Je ne discuterai pas sur f(A), mais sur f-1f(A), c'est quoi ?

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 22:28

Oups je voulais répondre à ton poste de 22h15

J'avais pas vu ton second poste, euh je cherche encore

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 22:30

Euh c'est l'image réciproque de l'image directe de A, je ne sais pas si c'est la réponse que tu attendais

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 22:37

Tu peux me le décrire en tant qu'ensemble  ?
{x dans ... tel que ... }

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 22:50

J'avais aussi pensé à le faire ça mais je suis toujours incapable de l'écrire..

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 23:15

Et bien, ca doit etre dans tes cours ca je pense :
3$ f^{-1}(U)=\{x\in E | \ f(x)\in U\} pour toute partie U de E.
Donc f^{-1}(f(A))=\{x\in E | \ f(x)\in f(A) \} à partir de la tout est clair non ?

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 23:21

C'est bien dans mes cours et même je la connais par coeur cet définition, je ne comprends pas pourquoi je bloque sur la moindre difficultée

Ben f(A) n'est pas une partie de E non ?

Merci pour ta patience

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 23:23

Excuse moi, bien sur pour toute partie de F...

A présent tu as compris pourquoi on peut dire que si x appartient à A alors   x\in f^{-1}(f(A)) ?

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 23:27

Tu voulais peut-être dire pour toute partie de F ?

Maintenant, si x -qui appartient à E- appartient à A alors f(x) appartient à f(A) il fait donc partie de l'ensemble et on peut en déduire alors que x appartient à 3$f^{-1}f(A)

C'est cela ?

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 23:29

Exactement.
Tu viens ainsi de montrer que A est inclus dans f-1(f(A)).

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 23:29

Merci beaucoup pour ta patience Laborieux hein

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 23:33

Mais non, mais non !

Si tu veux on peut meme voir la question 2)

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 23:43

2. On suppose f injective, soit x in élément de A

3$\exist ! y \in F | f(x)=y donc 3$f^{-1}(y)=x

Donc si f est injective, 3$x=f^{-1}\circ f(x)

Donc un sens est déja trouvé non ?

Maintenant si on suppose que 3$A=f^{-1}\circ f(A), soit x,x' des éléments de A.

On a 3$x=f^{-1}\circ f(x) \ (1) et 3$x'=f^{-1}\circ f(x') \ (2)

On suppose que 3$f(x)=f(x'), on a donc 3$f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}\circ f(x')  or d'après (1) et (2) on a tout de suite 3$x=x'

Donc f est injective.

D'ou l'équivalence ? J'espère que c'est ça, ca me donnerait un peu confiance en ce que je fais

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 25-11-09 à 23:53

Donc on montre bien l'équivalence :
f est injective si et seulement si 3$ \forall A\in\mathcal{P}(E) \ A=f^{-1}(f(A))

Je ne saisis pas trop ton raisonnement :

Citation :
x in élément de A
3$\exist ! y \in F | f(x)=y donc 3$f^{-1}(y)=x

Donc si f est injective, 3$x=f^{-1}\circ f(x)


Pourquoi existe-t-il un tel y ?
Il faut partir très calmement et pas à pas.

Je te propose de commencer comme ceci :

Pour :  On suppose donc f injective.
Il faut montrer que pour toute partie A de E, on a f^(-1)(f(A))=A.
Procédons par double inclusion ( on le fait très très souvent ).
L'inclusion droite-gauche, c'est tout bonnement la question 1) donc y a rien à faire.
Il reste alors à montrer l'autre inclusion.

Comme d'habitude : soit x dans f^(-1)(f(A)), montrons que x appartient à A.

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 26-11-09 à 00:05

Ah non il en existe au maximum un tel y  ..

J'avais pensé à ça ma du fait que j'ai supposé la bête bijective je me retrouve avec l'égalité directement. (D'ailleurs peut-être que le raisonnement est faux)

Soit x dans f^(-1)(f(A)),ie 3$x\in \{x\in E| f(x)\in f(A)\}

On a donc 3$f(x)\in f(A)

Or f est injective donc pour tout élément f(x) il existe au maximum un élément x appartenant à A tel que f(x) appartiennent à f(A)

Donc x est un élément de A non ?

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 26-11-09 à 00:08

Encore une fois, tu ne tranches pas assez dans tes arguments. On est pas sur que tu aies bien saisi le truc.
C'est vraiment un exercice pour manipuler les définitions d'ensemble image direct, reciproque par des fonctions et l'injectivité/surjectivité.

En tant qu'ensemble, f(A) c'est quoi ?
Si f(x) appartient à f(A), tu en déduis quoi ?

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 26-11-09 à 00:16

3$f(A)=\{y\in F| \(\exist x\in A\) f(x)=y\}
Or 3$f(x)=\{y\in F|f(x)=y\}
Donc si f(x) appartient à f(A), alors x appartient à A

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 26-11-09 à 00:18

Oui pour f(A) mais non pour la suite : f(x) c'est un élement, pas un ensemble !

Si f(x) appartient à f(A), alors 'par définition de f(A)', il existe un élement de A tel que ....

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 26-11-09 à 00:22

Roh ! C'est pas faute de me l'avoir répété en plus ..

...tel que f( de cet élément )=f(x).

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 26-11-09 à 00:23

Que peux-tu dire de cet élément ? Le doute plane un peu sur lui pour l'instant et l'injectivité devrait pas tarder à pointer le bout de son nez ...

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 26-11-09 à 00:25

cet élément est unique et c'est x puisque f est injective

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 26-11-09 à 00:28

Disons plutot qu'il est unique si jamais il existe. Et comme x est déjà un candidat, c'est necessairement lui.
Plus formellement : il existe x' dans A tel que f(x)=f(x'), et comme f est injective, x=x' ! Par suite x appartient à A

Ce qui montre un sens de l'équivalence.

L'autre sens est très rapide.
Indice : souviens de la petite astuce avec les ensembles et les élements. On l'a déjà fait une ou deux fois ensembles.

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 26-11-09 à 00:38

Cool merci

Ben l'autre sens on prend deux parties {x} et {y} et on fait la même chose que plus haut, c-a-d : 3$ \{x\}=f^{-1}\circ f(\{x\})=f^{-1}(\{f(x)\})=f^{-1}(\{f(y)\})=f^{-1}\circ f(\{y\})=\{y\}

Ainsi {x}={y} d'où x=y

Donc f est injective ?

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 26-11-09 à 00:39

Exacte !

Posté par
olive_68re : Application injective / surjective :S 26-11-09 à 00:40

Cool

T'es trop fort ! J'espère qu'un jour j'en saurais autant que toi ^^

Posté par
Narhmre : Application injective / surjective :S 26-11-09 à 00:40

Maintenant, j'affirme qu'on vient de montrer que : 3$f^{>}\circ f^{<}=Id_{\cal{P}(X)} ssi 3$f est injective.

Est ce que tu vois pourquoi ?

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