Niveau Reprise d'études

Applications restreintes et surjection

Posté par
Pixy37 14-10-21 à 09:17

Bonjour,

Un exercice très classique (je pense) sur les ensembles et applications sur lequel je bloque. En voici l'énoncé:

Soit E et F deux ensembles et soit A et B deux parties de E.
On note $A(E,F)$ l'ensemble des applications de E dans F.
Soit l'application $a: A(E,F) \rightarrow A(A,F) \times A(B,F)$ , $f$ $(f_{\mid A}, f_{\mid B})$
J'espère que les notations sont claires, en gros "a" associe à une application f de E vers F le couple formé par la restriction de f à A et la restriction de f à B.
1) Montrer que si $A \bigcup B = E$ alors a est injective.
2) Montrer que si $A \bigcap B =$ alors a est surjective.

1) je pense avoir trouvé: soit $f_{1}, f_{2}$ deux applications de E vers F telles que $a(f_{1}) = a(f_{2})$ . On a alors $(f_{1\mid A}, f_{1\mid B}) = (f_{2\mid A}, f_{2\mid B}) \Leftrightarrow f_{1\mid A} = f_{2\mid A}, f_{1\mid B} = f_{2\mid B}$ . Donc, $x$ A, $x$ B, $f_{1}(x)=f_{2}(x)$ . Comme on a $A \bigcup B = E$ , on déduit que $x$ E, $f_{1}(x)=f_{2}(x)$ d'où $f_{1} = f_{2}$ et a est injective.

2) Je bloque. Je pars d'un élément $g$ de $A(A,F) \times A(B,F)$ . On a donc $g = (g_{1},g_{2})$ avec $g_{1}\in A(A,F), g_{2}\in A(B,F)$ . On cherche donc une application f de E vers F telle que a(f) = g c'est à dire telle que $f_{\mid A} = g_{1}$ et $f_{\mid B} = g_{2}$ .
A partir de là je ne sais plus. En fait je ne vois pas en quoi le fait que A et B ne soient pas disjoints pose problème. Une fois que j'aurais compris cela je pense que la solution sera évidente. J'ai aussi cherché du côté de la contraposée, sans succès.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par re : Applications restreintes et surjection 14-10-21 à 09:24

salut

à partir de g tu peux donc construire une fonction f telle que :

$\forall x \in A : f(x) = g_1(x) $ et $ \forall x \in B : f(x) = g_2(x)$

mais si $x \in A \cap B$ on aura $g_1(x) = g_2(x)$ et imposera des conditions sur g_1 et g_2 (égalité sur l'intersection de A et B ...

et on est sauvé justement car $A \cap B =\O$ nous permet de le faire ...

ensuite pour les éléments $x\in E - (A \cup B)$ tu poses f(x) = n'importe quel élément de F

...

Posté par re : Applications restreintes et surjection 14-10-21 à 09:30

Bonjour Pixy37.

Pour la 2), si A et B sont disjoints, il te suffit de réunir le graphe de $f_{|A}$ avec le graphe de $f_{|B}$ puis de prendre un graphe de $f_{|E-(A\cup B)}$ et de réunir les trois graphes.

Posté par re : Applications restreintes et surjection 14-10-21 à 10:24

Bonjour

Tu écris :

Citation :
Donc,

$x$

B, $f_{1}(x)=f_{2}(x)$ .

Il faut revoir cette partie.

Sinon, identifiant une application avec son graphe, ladite application n'est autre que

$a:\left\{\begin{array}{rcl}\mathcal{A}(E,\,F)&\longrightarrow&\mathcal{A}(A,\,F)\times\mathcal{A}(B,\,F)\\f&\longmapsto&(f\cap(A\times{}F),\,f\cap(B\times{}F))\\\end{array}\right.$

pour un certain $(A,\,B)\in\mathfrak{P}(E)\times\mathfrak{P}(E)$ .

Posté par re : Applications restreintes et surjection 14-10-21 à 16:34

Ah ok, je pense avoir pigé le truc. Si on avait $a \in A \bigcap{} B$ et $g_1(a) =b$ et $g_2(a) =c$ alors pour avoir $f_{|A} = g_1$ et $f_{|B} = g_2$ il nous faudrait $f(a) =b$ et $f(a) =c$ ce qui est impossible si $b \neq c$ .

Citation :
Donc,

$x$

B, $f_{1}(x)=f_{2}(x)$ .
Il faut revoir cette partie.

C'est un problème de notation ou de raisonnement ? Écrire $\forall x \in A\bigcup B, f_{1}(x) = f_2(x)$ corrige le problème ?

Citation :

Sinon, identifiant une application avec son graphe, ladite application n'est autre que

$a:\left\{\begin{array}{rcl}\mathcal{A}(E,\,F)&\longrightarrow&\mathcal{A}(A,\,F)\times\mathcal{A}(B,\,F)\\f&\longmapsto&(f\cap(A\times{}F),\,f\cap(B\times{}F))\\\end{array}\right.$

pour un certain $(A,\,B)\in\mathfrak{P}(E)\times\mathfrak{P}(E)$ .

J'ai du mal à comprendre ta notation. En particulier l'intersection entre $f$ et $(A \times F)$ qui ne sont pas de même nature non ? Ou bien alors $f$ désigne le graphe de $f$ : $\Gamma_f$ ?

En tout cas merci pour vos réponses.

P.S. : Comment faites-vous dans Latex pour trouver des symboles comme "pour tout" ou le A "stylé" pour l'ensemble des applications ? Il y en a plein que je ne trouve pas dans l'éditeur (comme l'ensemble vide par exemple). Vous les connaissez par cœur

Posté par re : Applications restreintes et surjection 14-10-21 à 16:44

Pixy37 @ 14-10-2021 à 16:34

P.S. : Comment faites-vous dans Latex pour trouver des symboles comme "pour tout" ou le A "stylé" pour l'ensemble des applications ? Il y en a plein que je ne trouve pas dans l'éditeur (comme l'ensemble vide par exemple). Vous les connaissez par cœur

oui ... car malheureusement le forum est bien pauvre en formulaire latex

mais si tu tapes formulaire latex math sur le net tu en trouveras plein ...

de plus dans la ligne donnant le pseudo en cliquant sur le symbole (une sorte de $\infty$ "pas fermé") de gauche se trouvant à droite de cette ligne (vers l'heure et la date) tu peux éditer le msg posté ... et apprendre ... puis retenir !!