Bonjour.
On sait que la restriction de la fonction sinus à l'ensemble E = [,] définit une fonction continue strictement croissante prenant ses valeurs sur F = [-1,1]. Elle définit donc une bijection de E sur F. Sa fonction réciproque se note Arcsinus.
Arcsinus est donc définie sur F et les images appartiennent à E
Conclusion :
1°) u Arcsin(u) est définie ssi -1 u 1
2°) v = Arcsin(u) u = sin(v), v
Passons maintenant à ta question. Soit f définie par f(x) = Arcsin(sin(x))
¤ Comme, pour tout x dans IR, -1 sin(x) 1, la fonction f est définie sur IR
¤ f(x + 2) = Arcsin(sin(x + 2)) = Arcsin(sin(x)) = f(x)
Donc, f est 2-périodique
¤ si x E = [,], d'après les préliminaires, f(x) = x
¤ f( - x) = Arcsin(sin( - x)) = Arcsin(sin(x))
Cela signifie que la représentation graphique présente une symétrie par rapport à la droite (d) d'équation y =
On peut donc tracer f sur [,] puis, dessiner la symétrie par rapport à (d). Cela donne un "chapeau d'angle" qui s'étale sur [,]. Ce dernier intevalle étant d'amplitude 2, il suffit de recopier ce chapeau éternellement.