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Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 20:51

Les hypothèses de Fubini sont vérifiés?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 21:01

oui (mais regarde ça de plus près pour t'en convaincre).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 21:03

Justement je voudrais le regarder de plus près, mais je ne vois pas quoi faire.
Montrer que les suites en jeu dans le produit scalaire sont de normes finis ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 21:06

Non, il faut se convaincre que la double somme

\Large\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)f(k)|

est finie.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 21:12

\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)f(k)|=\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|(l)| Par Fubini-Tonnelli?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 21:14

tu ne peux pas écrire ça : h(l-2k) doit être dans la somme sur l, pas en dehors.


Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 21:21

Plutôt \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)f(k)|=\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)|

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 21:27

on a \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}|e(l)|\le \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2

?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 21:59

Désolé, j'ai dû m'absenté.

Sinon, ce que tu écris est correct.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:00

Aucun souci!
Peut on encore majorer \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2 ?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:01

Il y a déjà ||h||_1^2 devant.

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:01

la première somme peut se majorer par \Large{||h||_1}.
Ensuite, il reste à sommer sur k.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:04

J'en suis à :
\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)|\le \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2

et
\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2=||h||_1^2\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:08

C'est presque ça : c'est seulement \Large{||h||_1} (sans le carré).

Ensuite ?
Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:09

Oui!
Puis :
\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2=\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)||e(l)|^2=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|e(l)|^2\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)| ?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:10

Fubini-Tonnelli?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:12

oui, ça marche avec Fubini-Tonelli.

Ensuite ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:13

Je ne vois pas que faire de \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:15

Cauchy-Schwarz.

Kaiser

Posté par
Tigweg Correcteurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:18

Bonsoir vous deux!

KAiser->

Citation :
re : Autour de Parseval
profil de kaiserposté par : modérateur kaiser (Modérateur)
Cauchy-Schwarz.

Kaiser


C'est pas très précis, lequel s'applique?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:19

\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|=\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}\le\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|^2|h(l-2k)|\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)| ?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:20

Citation :
C'est pas très précis, lequel s'applique?

Y'a eu un bug d'énoncé

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:22

Salut Tigweg

euh pas compris ! (j'ai une excuse : il est tard ! )

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:23

H_aldnoer >

non pas comme ça : applique Cauchy-Scwarz avec pour séparer f(k) et h(2k-l).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:25

plutôt comme ça alors \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|=\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|^{\frac{1}{2}}|f(k)|^{\frac{1}{2}}|h(l-2k)|\le\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|^2

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:27

non plus : quand je dis "séparer", je veux dire que f(k) et h(2k-l) apparaissent dans des sommes distinctes.

Kaiser

Posté par
Tigweg Correcteurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:29

Kaiser->Ta réponse de 22h15 était:

Citation :
Cauchy-Schwarz.

Kaiser


Du coup c'est imprécis, tu cites deux trucs différents qui ont chacun beaucoup de chances de marcher!

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:30

avec la racine \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|\le\sqrt{\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|^2}\sqrt{\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|^2} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:30

attention, y'a un bug : à chaque fois que tu as utilisé Cauchy Schwarz (y compris lorsque tu as montré la continuité de R), tu as oublié des racines carrées.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:32

OK, Tigweg !

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:33

H_aldnoer > oui

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:35

Et donc?
Je suis perdu!

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:37

On a obtenu \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|e(l)|^2\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|\le\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|e(l)|^2\sqrt{\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|^2}\sqrt{\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|^2}

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:39

la deuxième est inférieure à la \Large{||h||_2}, qui est finie.

Du coup, la somme double de départ, est inférieure à \Large{||e||_2|||f||_2||h||_2}, donc la double somme est finie et on peut donc intervertir.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:39

Soit :
\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)|\le ||e||_2^2||f||_2||h||_2||h||_1

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:40

Je me suis trompé ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:40

message de 22h37 : comme dit plus haut, il manque une racine carrée (reparcourt tout ce topic pour voir où tu as appliqué Cauchy-Schwarz pour corriger).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:41

attends deux secondes.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:46

Je refais le calcul sur papier il s'agit bien de majorer
\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)f(k)|

?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:52

oui (mais fais bien attention aux racines carrées qui apparaissent en appliquant Cauchy-Schwarz).

Cela dit, on peut justifier la finitude de cette somme par un argument simple (mais on va quand même essayer de montrer ça en procédant à des majorations).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:53

c'est donc : \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}|e(l)|\le\sqrt{\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|}\sqrt{\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2}

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:55

là, c'est correct

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:56

\sqrt{\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|}=||h||_1^{\frac{1}{2}} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:58

oui.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 22:59

Puis on majore \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:06

En fait, je ne suis pas sûr que ça va marcher comme ça.
je te conseille de faire Cauchy-Schwarz en voyant la doubler somme comme une seule somme (sur \Large{\mathbb{Z}^2}).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:07

Je galère sur papier!
Je pense pas que ça marche.

Comment ça sur \mathbb{Z}^2 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:12

Ecris cette somme sous la forme :

\Large{\Bigsum_{(k,l)\in \mathbb{Z}^2}|h(l-2k)f(k)e(l)|}

ça c'est Fubini.

En effet, intégrer une "fonction" positive sur \Large{\mathbb{Z}} puis sur \Large{\mathbb{Z}}, chacun d'entre muni de la mesure de dénombrement c'est la même chose qu'intégrer sur \Large{\mathbb{Z}^2} , lui-même muni de sa propre mesure de dénombrement.
Ensuite, Cauchy-Schwarz.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:14

Citation :
ça c'est Fubini.


Fubini-Tonelli, bien entendu.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 18-03-08 à 23:15

\Large{\Bigsum_{(k,l)\in%20\mathbb{Z}^2}|h(l-2k)f(k)e(l)|}=\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)f(k)| ?

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