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base de R3, projection orthogonales
bonjour à tous!
F : x1+x2-x3=0
soit trois vecteurs v1=(4,1,2) v2=(1,1,1) v3=(0,-1,4)
montrer que v1, v2 forment une base de F et v1, v2, v3 une base de 
3
moi j'ai calculé le déterminant correspondant à la matrice des trois vecteurs et j'ai trouvé 14 donc je conclue que c'est une base de 3 (car quand le déterminant est différent de zéro cela forme une base... j'ai raison n'est ce pas? 
)?
maintenant comment faire pour montrer que v1 et v2 forment une base de F?
merci
C'est OK pour le déterminant.
Maintenant, il doit y avoir une erreur dans ton énoncé... Es-tu sûr de l'équation de F???
Bonjour,
->Il appartienent à F
->dim(F)=2
->(v1,v2) forment une famille libre
->Donc c'est une base de F
Il me semble que tout y est
À moins qu'il y ait eu un raccourci d'énoncé un peu violent, une faute de frappe (genre oublier les facteurs : x1+2x2-3x3 = 0 ???).
oui j'avais oublié les facteurs en tapant l'énoncé(je me demande encore comment t'as fait erio pour retrouver celles de mon exercice au hasard) et c'est bien x1+2x2-3x3 = 0
Vu qu'on souhaite démontrer que v1 et v2 appartiennent à F, il faut que les coordonnées de v1 et v2 vérifient l'équation. Or, si v1 et v2 engendre un plan (ce qui est la cas car ils forment une famille libre), ce plan engendré a nécessairement pour équation celle de F (qui est effectivement l'équation d'un plan de R3), seulement, ce sera à un facteur près.
J'ai fait ça au hasard, effectivement, et j'ai trouvé une combinaison linéaire qui fonctionnait, mais dans ces conditions, j'étais forcé de tomber sur une équation (c'aurait pu être
, mais le plus simple est quand même d'avoir les facteurs les plus petits possibles...) donc j'étais à peu près sûr de tomber sur la bonne équation.
Seulement, on n'aime pas trop le hasard : pour faire ça de manière générale, étant donnés des vecteurs formant une famille libre de R^n, si l'on veut trouver une équation de l'hyperplan les contenant, et si l'on nomme
les coefficients de l'équation, on est amené à résoudre un système :
...
système de n équations à n-1 inconnues, donc déterminée à un facteur près...
Dans R^3, on peut aller encore plus rapidement : les coefficients peuvent être calculés rapidement avec le produit vectoriel de v1 et v2 :
v1 
v2 = (-1,-2,3)
soit à un facteur près, les coefficients de l'équation...
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