Bonjour,

1. Soit
Puisque est décroissante sur , on a :

On intègre entre et sachant que les membres de gauche et de droite sont constants :

Cc,

je suis pas sur de ce que je vais ecrire :
0<ktk+1
k^at^a(k+1)^a
1/k^a1/t^a1/(k+1)^a
1/(k+1)^a1/t^a1/k^a
1/(k+1)^adt1/t^adt1/k^adt [entre k et k+1]
1/(k+1)^adt1/t^adt1/k^adt [tjs entre k et k+1]
1/(k+1)^a(k+1-k)1/t^adt1/k^a(k+1-k)
(1/(k+1)^a)11/t^adt(1/k^a)1
1/(k+1)^a1/t^adt1/k^a

pour k=1:
1/(1+1)^a1/t^adt1/1^a [entre 1 et 2]
pour k=2:
1/(2+1)^a1/t^adt1/2^a   [entre 2 et 3]

...

pour k=n:
1/(n+1)^a1/t^adt1/n^a   [entre n et n+1]

On somme membre à membre :
1/(1+1)^a + 1/(2+1)^a + ... + 1/(n+1)^a1/t^adt + 1/t^adt + ... + 1/t^adt1/1^a + 1/2^a + ... + 1/n^a

A gauche :
On a S[n+1]=1/1^a + 1/2^a + ... + 1/n^a + 1/(n+1)^a
Donc S[n+1]-1=1/1^a + 1/2^a + ... + 1/n^a + 1/(n+1)^a - 1 = 1/2^a + ... + 1/n^a + 1/(n+1)^a = 1/(1+1)^a + 1/(2+1)^a + ... + 1/(n+1)^a
A droite :
Il est clair que 1/1^a + 1/2^a + ... + 1/n^a=S[n]

D'ou l'inéquation. (On utilise Chasles pour les intégrales)

2. On fait la somme membre à membre de l'inégalité précédente pour . Il vient immédiatement :

Ok.
Je trouve pas le dernier moi

3. En choisissant , on peut également écrire l'encadrement de la question 2. (valable pour tout strictement positif) pour :

Donc :

En combinant avec l'encadrement trouvé en 2, il vient :

Bonjour H_aldnoer

Bah ! Bien vu Nico.

Slt au passage.

merci à tous les deux, vraiment formidable !!!!!

Pour ma part, je t'en prie.

Si c'est pas trop y a encore une question que je croyais être capable de resoudre mais ce n'est en fait pas le cas. Donc je la met quand même si elle trouve preneur ce serait "genial" :
A partir de 3. déterminer la nature de (S[n]) dans les 3 cas : a=1, a<1, a>1.
merci d'avance etbonne soirée.

Les intégrales présentes dans l'encadrement de 3., tu peux les... calculer.

si a=1 :

le membre de gauche tend vers +oo, donc S(n) aussi

si a différent de 1 :

si a < 1, le membre de gauche tend vers +oo, donc S(n) aussi
si a > 1, le membre de droite admet une limite finie, donc S(n) est majorée ; or elle est croissante ; donc elle converge.

Sauf erreur.

Nicolas

merci infiniment et bonne journée.

Pour ma part, je t'en prie.