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cacul de somme k parmi n

Posté par
victoriatra 04-10-09 à 19:15

Je n'arrive pas à trouver une methode pour resoudre ce genre de somme:

de k=0 à n de ( k parmi n )

de même pour

de 02kn de 2k parmi n

merci d'avance

Posté par
perroquetre : cacul de somme k parmi n 04-10-09 à 19:28

Bonjour, victoriatra

On utilise la formule du binôme:

3$ 2^n=(1+1)^n =\sum_{k=0}^n {n\choose k}

3$ 0=(1-1)^n =\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}

Ensuite, on additionne ...

Posté par
victoriatrare : cacul de somme k parmi n 04-10-09 à 20:08

je suis désolé mais je ne comprend pas le 2ème calcul , commet utilise t on le 2k ?

pour le premier , cela correspond t il au binome de newton?

Posté par
perroquetre : cacul de somme k parmi n 04-10-09 à 21:01

Développons un peu
3$ 2^n=(1+1)^n =\sum_{k=0}^n {n\choose k}1^k 1n-k} =\sum_{k=0}^n {n\choose k}

3$ 0=(1-1)^n =\sum_{k=0}^n {n\choose k}(-1)^k1^{n-k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k{n\choose k}

On additionne:

3$ 2^n=\sum_{k=0}^n \left[1+(-1)^k\right]{n\choose k}=\sum_{0\leq 2k\leq n}2{n\choose 2k}

Posté par
victoriatrare : cacul de somme k parmi n 04-10-09 à 21:24

je ne comprend pas pourquoi il y a  a la derniere ligne 2(2k parmi n ) je crois qu'il faut trou ver seulement 1( 2k parmi n)

Posté par
perroquetre : cacul de somme k parmi n 04-10-09 à 21:28

1+(-1)^k est nul lorsque k est impair et vaut 2, lorsque k est pair.

Pour "trouver seulement 1", il suffit de diviser par 2.

Je précise que je ne rédige jamais mes solutions. Je donne seulement des indications.

Posté par
victoriatrare : cacul de somme k parmi n 05-10-09 à 09:52

en fait je ne comprend pas l'interet d'additionner : est ce pour avoir 2k?

Posté par
perroquetre : cacul de somme k parmi n 05-10-09 à 23:26

Réponses aux deux questions posées:

3$ \sum_{k=0}^n {n \choose k}=2^n

3$ \sum_{0\leq 2k \leq n}{n \choose 2k}=2^{n-1}


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