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:*: Calcul d'aire :*:

Posté par
infophile 03-02-07 à 17:07

Bonjour

Je suis en train de faire un sujet de bac dont la dernière partie traite du calcul d'aire. Je n'ai pas encore vu en classe les intégrales mais je viens de me renseigner un peu, et je voudrais savoir si ce que j'ai fait est juste et surtout au niveau de la rédaction

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A l'aide d'une double intégration par parties, déterminer une primitive sur \large \mathbb{R} de la fonction \large x\to x^2e^x.

La fonction \large u: x\to x^2 est de classe \large C^2 et la fonction exponentielle \large v: x\to e^x est de classe \large C^{\infty} sur tout intervalle \large [a;b]\subset \mathbb{R}.

On peut donc appliquer \large \int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx.

Ainsi :

\large \int_{a}^{b}x^2e^x dx=[x^2e^x]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}2xe^xdx\\ \int_{a}^{b}x^2e^x dx=[x^2e^x]_{a}^{b}-[2xe^x]_{a}^{b}+\int_{a}^{b}2e^x dx\\ \int_{a}^{b}x^2e^x dx=[x^2e^x]_{a}^{b}-[2xe^x]_{a}^{b}+[2e^x]_{a}^{b}\\ \int_{a}^{b}x^2e^x dx=[e^x(x^2-2x+2)]_{a}^{b}

Donc la fonction \large \fbox{x\to e^x(x^2-2x+2)} est une primitive de la fonction \large x\to x^2e^x.

En déduire une primitive \large F  sur \large \mathbb{R} de la fonction \large f: x\to x^2e^x-\frac{x^2}{2}.

On obtient \large \fbox{F(x)=e^{x-1}(x^2-2x+2)-\frac{x^3}{6}}

Calculer alors en unités d'aire, l'aire du domaine \large \scr{D} délimité par la courbe \large (\scr{C}) représentative de la fonction \large f, l'axe des abscisses, des ordonnées et la droite d'équation \large x=1-ln(2).

Intuitivement j'aurais fait (mais je ne sais pas l'expliquer...)

\large \scr{D}=\int_{0}^{1-ln(2)}f(x) dx=F(0)-F(1-ln(2))\\\scr{D}=\frac{2}{e}-[(1-ln(2))^2-2(1-ln(2))+2]e^{-1}.e^{1-ln(2)}-\frac{(1-ln(2))^3}{6}\\\scr{D}=\frac{2}{e}+[ln(2)^2+1]\times \frac{1}{2}-\frac{(1-ln(2))(1-2ln(2)+ln(2)^2)}{6}\\\scr{D}=\frac{2}{e}+\frac{ln(2)^2}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1-3ln(2)+3ln(2)^2-ln(2)^3}{6}

\large \fbox{\scr{D}=\frac{2}{e}-\frac{1}{3}-\frac{ln(2)}{2}-\frac{ln(2)^3}{6}}.

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Merci

Posté par
Nightmarere : :*: Calcul d'aire :*: 03-02-07 à 17:10

Salut Kevin

Pour le calcul de F c'est bien. Au niveau de la rédaction, évite de parler de classe d'une fonction. Tu dis simplement que tes deux fonctions sont deux fois dérivables sur R, ce qui suffit pour conclure qu'on peut appliquer l'IPP. Sinon, évite de marquer les bornes a et b pour un calcul de primitive, laisse simplement une intégrale indéfinie.

Pour l'aire sous la courbe, il faut d'abord savoir si f est positive ou négative.

En fait, l'aire sous la courbe Cf entre l'axe des abscisse et les droites d'équation x=a et x=b vaut 3$\rm \Bigint_{a}^{b} |f|, d'où l'étude du signe.

Posté par
infophilere : :*: Calcul d'aire :*: 03-02-07 à 17:19

D'accord merci Jord


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