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calcul de somme de cosinus

Posté par
futuresight 13-09-09 à 12:16


bonjour,

j'ai un exercice de calcul de somme de cosinus à faire, mais je ne sais comment procéder.


IL faut donc calculer la somme suivante;

\rm C=\sum_{k=0}^{n}\ (cos(\theta))^k cos(k\theta)


ce que j'ai fait:

j'ai posé C=\sum_{k=0}^{n}\ (cos(\theta))^k cos(k\theta)\\S=\sum_{k=0}^{n}\ (cos(\theta))^k sin(k\theta)

puis calculé C+iS=\sum_{k=0}^{n}\ (cos(\theta))^k (cos(k\theta)+ \ isin(k\theta))\\ C+iS=\sum_{k=0}^{n}\ (cos\theta)^k e^{i\theta k}


mais bon après je ne sais plus quoi faire

Merci d'avance

Posté par
perroquetre : calcul de somme de cosinus 13-09-09 à 12:20

Bonjour, futuresight

On reconnait dans ta dernière égalité la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison   \cos\theta\ e^{i\theta}

Posté par
futuresightre : calcul de somme de cosinus 13-09-09 à 12:37

ah merci donc je peux déduire que 3$ \sum_{k=0}^n(cos(\theta))^ke^{ik\theta}= \frac{1-cos\theta.e^{in\theta}}{1-cos \theta .e^{i\theta} ?

Posté par
jeansebre : calcul de somme de cosinus 13-09-09 à 12:50

Bonjour

(Perroquet semble déconnecté)

Il manque la puissance pour le cosinus au numérateur. De plus, cette puissance est n+1.

Posté par
perroquetre : calcul de somme de cosinus 13-09-09 à 15:37

Bonjour, jeanseb  

Citation :

(Perroquet semble déconnecté)


C'était bien le cas
(et, dans la vie de tous les jours, c'est ce que ma femme me dit souvent   )

Mais n'hesites pas à intervenir, même lorsque je suis "connecté"
Tu me rendras service.

Posté par
jeansebre : calcul de somme de cosinus 13-09-09 à 15:45

Bonjour Perroquet

C'est une règle de savoir vivre sur le forum: ne pas intervenir quand quelqu'un d'autre est "sur l'affaire" et qu'on n'a rien de nouveau à apporter.
Mais, si j'ai bien compris, tu proposes qu'on te relaie de temps en temps.
OK!
Mais avec la réserve que j'ai davantage confiance dans tes interventions qu'en les miennes...

Posté par
futuresightre : calcul de somme de cosinus 13-09-09 à 20:21


bonne soirée,

pour la suite, que dois-je faire avec 3$\frac{1-cos^{n+1}(\theta)e^{i(n+1)\theta}}{1-cos(\theta)e^{i\theta}} ?

ce que j'ai fait:
j'ai factorisé

3$\frac{e^{i(n+1)\theta}(e^{-i(n+1)\theta} -cos^{n+1}(\theta))}{e^{i\theta}(e^{-i\theta}-cos(\theta))}\\=\frac{e^{in\theta}(e^{-i(n+1)\theta} -cos^{n+1}(\theta))}{(e^{-i\theta}-cos(\theta))}\\=cos(n\theta)\frac{(e^{-i(n+1)\theta} -cos^{n+1}(\theta))}{(e^{-i\theta}-cos(\theta))}+isin(n\theta)\frac{(e^{-i(n+1)\theta} -cos^{n+1}(\theta))}{(e^{-i\theta}-cos(\theta))}

puis je conclus que C=cos(n\theta)\frac{(e^{-i(n+1)\theta} -cos^{n+1}(\theta))}{(e^{-i\theta}-cos(\theta))} et S=sin(n\theta)\frac{(e^{-i(n+1)\theta} -cos^{n+1}(\theta))}{(e^{-i\theta}-cos(\theta))}


mais ça a l'air faux,
merci pour votre aide

Posté par
perroquetre : calcul de somme de cosinus 13-09-09 à 20:37

Il y a une faute à la fin de ton calcul, C et S n'étant pas réels.

L'idée de factoriser le dénominateur permettait une simplification rapide:

1-\cos\theta \, e^{i\theta}= e^{i\theta}\left( e^{-i\theta}-\cos\theta\right)=-i\, \sin\theta\, e^{i\theta}

Donc:
3$ \frac{1-\cos^{n+1}\theta e^{i(n+1)\theta}}{1-\cos\theta\, e^{i\theta}}= \frac{e^{-i\theta}-\cos^{n+1}\theta\, e^{in\theta}}{-i\sin\theta}

La partie réelle de la quantité ci-dessus est donc:   3$ 1+\frac{\cos^{n+1}\theta\, \sin(n\theta)}{\sin\theta}

Si je n'ai pas fait d'erreur  

Posté par
futuresightre : calcul de somme de cosinus 13-09-09 à 21:09

c'est simplement pour vous dire
Merci beaucoup

Posté par
jeansebre : calcul de somme de cosinus 13-09-09 à 21:13

Juste pour te proposer de changer ton profil (je suppose que tu n'es plus en TS...)

> Perroquet : Bien vu!

Posté par
futuresightre : calcul de somme de cosinus 13-09-09 à 21:58


ok j'ai changé mon profil.
Mais il s'avère que j'ai un autre exercice du même type et j'ai une question


il faut calculer cette somme
3$C=\sum_{k=0}^n x^k cos(k\theta)


donc on refait la même démarche en remplaçant cos\theta par x
avec 3$ S=\sum_{k=0}^n x^k sin(k\theta)
on arrive à

5$ C+iS=\frac{e^{in\theta}(e^{i(n+1)\theta} -x)}{e^{-i\theta} -x}\\=\frac{e^{-i\theta}-xe^{in \theta}}{e^{-i\theta} -x}

et maintenant comment je fais pour distinguer la partie réelle et imaginaire?

merci encore ^^

Posté par
jeansebre : calcul de somme de cosinus 13-09-09 à 22:22

ta dernière ligne ne correspond pas a la précédente

sinon (c'est juste une idée...) pour rendre réel le dénominateur,tu multiplies en haut et en bas par e^i pour obtenir 1 - x e^i qui est égal à (1-xcos) - i x sin.Là, tu multiplies en haut et en bas parla quantité conjuguée, pour obtenir en dessous (1-xcos)²+(xsin)² que tu développes en 1-2cos+x².

Je n'ai pas mieux en stock...

bon courage et a+


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