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Niveau Licence Maths 1e ann
Changement de variables, fonctions à plusieurs variables, Probab
Posté par MaleMan
Bonjour,
En probabilités, il nous faut déterminer les densités de vecteurs aléatoires ou d'un couple de variables aléatoires.
Or, il me semble qu'il me faut faire un changement de variable de plusieurs variables, mais je ne sais pas comment faire. Je vous donne l'énoncé du problème.
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires possédant la densité f(x,y)=(1/2pi)*exp((-(x^2+y^2))/2)
Posons V=X^2+Y^2
Montrer que V possède la densité h(v)=Kexp(-v/2)1]0,infini[(v), où 1]O,infini[(v) est la fonction indicatrice et K=(1/2pi)*
(1/racine_carrée(t(1-t)))dt, l'intégrale entre 0 et 1
Alors, je procède en prenant une fonction borélienne positive h, et j'essaie de trouver son espérance:
E(h(V))=h(x^2+y^2)f(x,y)dxdy
Avec les variables aléatoires, c'est à cette étape là qu'on fait un changement de variables. Mais je ne sais pas faire pour deux variables.
Je pose V=X^2+Y^2 et je différencie. J'obtiens dv=dx+dy
Mais maintenant?
Merci!
Bonsoir,
Je ne comprends pas l'introduction de cette fonction h ...
Une façon de faire : d'abord tu constates que les va X et Y sont indépendantes et suivent une loi normale réduite N(0,1); ensuite tu calcules la loi de X2 :
et en dérivant tu as la densité de X2 : .
De même pour Y2 : .
Pour trouver la densité de V = X2 + Y2 il te reste à calculer le produit de convolution f^X2 * fY2. Tu trouveras le résultat annoncé. Bon travail !
Merci, je vais essayer d'utiliser ce que vous m'avez dit.
Si j'ai introduit la fonction h, c'est parce qu'on a vu un théorème qui nous dit "qu'une qu'un vecteur aléatoire X de 
^d possède la densité f si et seulement si pour toute fonction h:^d -> borélienne continue (ou borélienne positive), E[h(X)] = h(x1,...,xd)*f(x1,...,xd)dx1...dxd "
Donc j'ai introduit la fonction h et puis j'ai essayé de mettre l'espérance de h(V) sous la forme h(v)g(v)dv, car j'ai h(x^2+y^2) et non h(v).
On a fait plein d'exemples en dimension 1. À chaque fois, il nous suffisait de faire un changement de variables simples (du genre, y=x^2 si on cherche la densité de Y=X^2) et on arrivait à trouver la densité.
Bonsoir,
Avec ta méthode :
et tu passes en coordonnées polaires r,
et en posant v=r2,dv=2rdr
d'où tu déduis par ton théorème : h(v) = (1/2)e-v/2 pour v>0, ce qui correspod au résultat annoncé ( la constante K est égale à 1/2 !)
Petite faute dernière ligne :
" ... par ton théorème que la densité de V est (1/2)e-v/2 pour v>0, ... "
C'est vrai que ta méthode est plus rapide, en tout cas dans ce cas-là !
Salut !
Salut,
Ou une autre méthode un peu tordue, mais qui permet de faire un cdv sur deux variables (faut que ce soit un difféomorphisme)
T :
et là, faut utiliser le jacobien.
ça marche dans le cas général bien sûr
et pour avoir la densité de , il faut ensuite intégrer par rapport à la deuxième variable.
c'est clair que les méthodes sus-citées sont plus rapides...
Bonjour MataHitienne,
La méthode que tu proposes est intéressante car elle met l'accent sur le point important : la recherche du bon cdv.
