Bonjour à tous,

J'aurai besoin d'aide sur l'exercice 2 du deuxième devoir à envoyer à la correction du CNED "Visa pour le Sup".

Voici l'énoncé:

On considère la suite U(n) = 1₂ + 2₂ + ... + n₂ avec n 1.
On se propose d'établir que lim (n+) U(n) / n³ = 1/3.

1) Montrer que, pour tout entier naturel k 1, on a les inégalités
de k-1 à k t² dt k² de k à k+1 t² dt

2) En déduire que, pour tout n1, n³/3 U(n) [(n+1)³-1]/3

3) Conclure

*****

Pour la 1), j'ai cassé l'inégalité en deux:

pour t entier tel que :

t k, en élevant au carré et en intégrant de k-1 à k j'aboutis à de k-1 à k t² dt k²

Par la même méthode, avec t k, je trouve k² de k à k+1 t² dt.

Je combine ensuite les deux inégalités pour trouver le résultat. Mais j'ai un doute sur cette méthode, n'ayant aucune idée pour procéder autrement (peut être la valeur moyenne, mais je doute que cela fonctionne...).

Pour la 2), j'ai cherché sans aboutir :


de n-1 à n t² dt n² de n à n+1 t² dt

ce qui donne

[1/3*t³] de n-1 à n n² [1/3*t³] de n à n+1

soit

(1/3)*(n³ - (n-1)³ n² (1/3)*((n+1)³ - n³)

C'est là où je suis bloqué.

Merci de votre aide.

Luchar.