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Comprendre exemple cours Intégrale
Bonjour, je ne comprend pas cette exemple sur l'encadrement d'une intégrale de mon cours, pourriez-vous m'expliquer s'il vous plaît ?
On considère la suite (In) définie pour tout entier naturel n par In=
1) Soit n appartient N*. Démontrer que si x appartient à [0;1/2] alors 0<= <=
Voici la réponse donné :
0<=x<=1/2
0<=x^n<=1/2^n car x —> x^n
0<= (x^n)/(1-x)<=1/2^n * 1/(1-x) car 1-x>0 sur [0;1]
Or 0<= x <= 1/2
0=>-x=>-1/2 *(-1)
1=>1-x=>1/2 +1
1<=1/(1-x)<=2 car x—>1/x est croissant
Donc 0<=x^n/(1-x)<=1/2^n *2
0<= x^n/(1-x)<= 1/(2^(n-1))
Je ne comprend pas la démarche, ni pourquoi parfois on ajoute ou multiplie mais pas chacun des membres (par exemple au moment où on ajoute 1, on ajoute 1 aux deux premiers membres mais pas à 1/2 alors qu'il faut le faire partout non ?)
Ensuite pour la seconde question :
2) montrer que pour tout entier naturel n non nul, 0<=In<=1/(2^n)
Il y a juste le début de la réponse que je ne comprend pas :
L'intégrale conserve l'ordre donc…
Que signifie ce début de phrase ? Je suppose que c'est en rapport avec la question précédente ?
Merci d'avance
Salut,
Il y a des trucs qui ne vont pas dans ton message :
0<=x<=1/2
0<=x^n<=1/2^n car x —> x^n est croissante
0<= (x^n)/(1-x)<=1/2^n * 1/(1-x) car 1-x>0 sur [0;1]
Or 0<= x <= 1/2
0=>-x=>-1/2 *(-1) --> ce "-1" signifie qu'on a multiplié toute la ligne précédente par -1, et non pas le -1/2
1=>1-x=>1/2 +1 --> ici on a bien ajouté 1 à tous les membres de l'inégalité précédente, non ?
1<=1/(1-x)<=2 car x—>1/x est croissant décroissant
2) montrer que pour tout entier naturel n non nul, 0<=In<=1/(2^n)
Il y a juste le début de la réponse que je ne comprend pas :
L'intégrale conserve l'ordre donc…
Que signifie ce début de phrase ? Je suppose que c'est en rapport avec la question précédente ?
Ah oui merci ! Mais je ne comprend toujours pas la démarche de la question 1), je ne sais pas trop comment expliquer mais je ne la comprend pas, comment on sait que c'est ces 3 étapes la qu'il fallait faire ? Je pense comprendre qu'on fait le premier paragraphe pour trouver le membre du milieu (et encore le membre de droite n'est même pas égal au meme que celui dans la question). Dans le deuxième paragraphe, aucun des membres ne sont pareils que ceux de la question et pour le troisième paraphe, on reprend la dernière ligne du premier paragraphe mais sans la multiplication faite à la fin (sans le *1/(1-x)). C'est tout ça que je ne comprend pas…
Mais par contre à la première ligne du troisième paragraphe de la question 1) où on multiplie par 2 il n'y a que le dernier membre qui est multiplié et pas celui du milieu
Mais comment on sait que l'intégrale conserve l'ordre ? Grace a quel partie de la question 1) ?
Merci d'avance
comment on sait que c'est ces 3 étapes la qu'il fallait faire ?
il est bien naturel d'encadrer xn , puis 1-x , puis diviser l'un par l'autre, non ?
et encore le membre de droite n'est même pas égal au meme que celui dans la question
pour le troisième paraphe, on reprend la dernière ligne du premier paragraphe mais sans la multiplication faite à la fin (sans le *1/(1-x)).
la première ligne du troisième paragraphe de la question 1) où on multiplie par 2 il n'y a que le dernier membre qui est multiplié et pas celui du milieu
Ah d'accord merci je comprend mieux ! Je ne suis pas sur de penser à faire tout ça si jamais je l'ai en contrôle mais j'ai compris… Juste une dernière question, que signifie cette notation x—>x^n ? Est-ce que ça signifie f(x)=x^n par exemple ? Enfin même si il n'y a pas de fonction nommée f. Est-ce que l'on peut noter x^n au lieu de x—>x^n ?
Ah et aussi vous n'avez pas répondu à ma toute dernière question :
Mais comment on sait que l'intégrale conserve l'ordre ? Grace a quel partie de la question 1) ? D'ailleurs, j'ai revu ce bout de phrase où l'on parle de l'ordre de l'intégrale plusieurs fois dans des exercices, est-on obligé de le préciser ? Car je n'ai pas bien compris l'utilité…
que signifie cette notation x—>x^n ? Est-ce que ça signifie f(x)=x^n par exemple ? Enfin même si il n'y a pas de fonction nommée f.
Mais comment on sait que l'intégrale conserve l'ordre ?
D'ailleurs, j'ai revu ce bout de phrase où l'on parle de l'ordre de l'intégrale plusieurs fois dans des exercices, est-on obligé de le préciser ?
1<=1/(1-x)<=2 car x—>1/x est décroissant : cela justifie que l'ordre a été inversé.
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