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Condition de diagonalisabilité

Posté par
EvaristeG 27-06-11 à 15:18

Bonjour. Je ne comprends pas sur le corrigé de l'exerice 189 () pourquoi on peut en déduire (à la fin de la preuve) que Ck,k=Ok. Pour moi, afin que l'égalité sur les rangs soit respectée, il faut que C=0. Merci d'avance.

Posté par
Narhmre : Condition de diagonalisabilité 27-06-11 à 17:08

Bonjour,

Par exemple pour le cas de \lambda_1 avec \alpha_1=\dim E_{\lambda_1} et en prenant les mêmes notations.
La matrice A est donc semblable à
\begin{pmatrix} \\ \lambda_1 I_{\alpha_1} & 0 & \cdots & 0 \\ \\ 0 & \lambda_2 I_{\alpha_2} & \cdots & 0 \\ \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 \\ \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_m I_{\alpha_m} \\ \end{pmatrix}
et ainsi la matrice A-\lambda_1I est semblable à :
\begin{pmatrix} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \\ 0 & \lambda_2 I_{\alpha_2} & \cdots & 0 \\ \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 \\ \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_m I_{\alpha_m} \\ \end{pmatrix}
et donc la matrice M-\lambda_1 I est semblable à \begin{pmatrix} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & C_{\alpha_1,\alpha_1} & C_{\alpha_1,\alpha_2} & \cdots & C_{\alpha_1,\alpha_m}\\ \\ 0 & \lambda_2 I_{\alpha_2} & \cdots & 0 & C_{\alpha_2,\alpha_1} & C_{\alpha_2,\alpha_2} & \cdots & C_{\alpha_2,\alpha_m}\\ \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_m I_{\alpha_m} & C_{\alpha_m,\alpha_1} & C_{\alpha_m,\alpha_2} & \cdots & C_{\alpha_m,\alpha_m}\\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2 I_{\alpha_2} & \cdots & 0 \\ \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 & \vdots & 0 & \ddots & 0 \\ \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_m I_{\alpha_m} \\ \end{pmatrix}
Vu comme cela, c'est peut-être plus parlant.
Maintenant, tu vois bien que quitte à faire une suite d'opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, la matrice M devient équivalente à
\begin{pmatrix} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & C_{\alpha_1,\alpha_1} & 0_{\alpha_1,\alpha_2} & \cdots & 0_{\alpha_1,\alpha_m}\\ \\ 0 & \lambda_2 I_{\alpha_2} & \cdots & 0 & 0_{\alpha_2,\alpha_1} & 0_{\alpha_2,\alpha_2} & \cdots & 0_{\alpha_2,\alpha_m}\\ \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_m I_{\alpha_m} & 0_{\alpha_m,\alpha_1} & 0_{\alpha_m,\alpha_2} & \cdots & 0_{\alpha_m,\alpha_m}\\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2 I_{\alpha_2} & \cdots & 0 \\ \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 & \vdots & 0 & \ddots & 0 \\ \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_m I_{\alpha_m} \\ \end{pmatrix}
Mais on ne peut pas obtenir mieux dans la simplification de la matrice.
Par suite, rg(M-\lambda_1 I_{2n})=rg(C_{\alpha_1,\alpha_1})+2rg(D-\lambda_1I_n)=rg(C_{\alpha_1,\alpha_1})+2rg(A-\lambda_1I_n).
Donc l'égalité sur les rangs ne tient que si et seulement si rg(C_{\alpha_1,\alpha_1})=0.

Le même raisonnement tient toujours en remplaçant \lambda_1 par \lambda_i et \alpha_1 par \alpha_i.

Posté par
EvaristeGre : Condition de diagonalisabilité 27-06-11 à 17:41

Je vois maintenant ! Merci beaucoup !

Posté par
Narhmre : Condition de diagonalisabilité 27-06-11 à 17:41

De rien


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