Bonjour, messieurs

Je me tourne vers vous non pas pour résoudre  un problème mais pour comprendre un cours. Plus précisément un détail du cours.

IL s'agit du cours de logique ou introduction à la logique de P. Keller, c'est un cours téléchargeable sur google, gratuit.

On aborde la question du métalangage et langage objet. On est au chapitre 3, page 52.

Mr Keller dit :

Dire d'une phrase qu'elle est vraie, c'est dire - ce principe de disquotation est formulé dans la célèbre “La Convention T” du logicien polonais Alfred Tarski :

(T) “ p” est vrai si et seulement si p.

À la gauche de cette équivalence matérielle on trouve une phrase du métalangage, à sa droite une phrase du langage-objet. Nous reviendrons sur ce principe important et la définition que Tarski a donné d'un prédicat de vérité pour un langage-objet.

Plus tard, Il dit p54 :

La relation de “si … alors ”. “Si … alors ” est une expression qui appartient au langage-objet :
elle prend (utilise) deux phrases pour en faire une troisième. "Étant donné que …, il s'ensuit que ”, au contraire, appartient au métalangage et nous sert à dire (en mentionnant les phrases) qu'il y a une relation de conséquence sémantique entre deux phrases, que l'une s'ensuit de l'autre. Nous abrégeons la relation exprimée par “étant donné que …, il s'ensuit que ” par un nouveau signe,“ =>”.

D'autres relations ‘objectuelles' ont des correspondantes ‘métalinguistiques'. Nous utilisons la flèche    →  simple' “ ” pour la relation exprimée par “si … alors ” et nous utilisons la flèche longue et ‘épaisse " ⇒” pour une relation de conséquence métalinguistique (non-spécifiée).

J'ai bien compris la flèche simple s'applique au LO, la flèche double au métalangage.

Mais une ligne plus tard il introduit une équivalence formé par un trait élargi différent de l'implication classique, je cite :

“Si p alors q” est vrai si et seulement si “p ” est vrai alors “q ” l'est aussi.
Nous pourrons donc maintenant dire
“p → q” est vrai ⇐⇒ p ⇒q

Il ne s'agit pas ici d'un nouveau formalisme, mais d'abréger de manière semi-formelle des locutions du langage ordinaire, qui, tout au long de ce cours, nous servent de métalangage pour parler de notre langage-objet L, le langage de la logique propositionnelle.
Nous pouvons faire une distinction similaire pour d'autres connecteurs[/i]

D'où ma question

Si le signe flèche simple (qui est l'implication matériel) ne s'applique qu'au langage objet, alors dans la convention de Tarski, l'équivalence ne peut être une équivalence matérielle mais une équivalence sémantique. Puisque l'implication est la conjection de deux implications. Or dans son cours, on ne définit pas précisément cette équivalence sémantique.

Or, Mr Keller introduit une équivalence avec flèche élargie <=>, juste plus haut. Symbole qu'il ne définit pas précisemment.

D'où ma seconde question, cette équivalence (grosse flèche) est-elle l'équivalence sémantique conjection de deux implications sémantiques. Je le pense, mais je demande confirmation de votre part.