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Convergence d'une suite d'intégrales
Bonjour,
Dans cet exercice, je dois étudier la convergence d'une suite d'intégrales
L'énoncé est le suivant : pour tout entier n
1, on note fn la fonction définie sur l'intervalle [0;1] par fn(t)= (t^n)/(t+1)
et (un) est la suite définie par un = 0
1 fn(t)dt
Je suis d'abord parvenue à prouver que 0
fn+1(t)fn(t) (1)
J'en déduis que (un) est décroissante et converge vers 0
Puis je prouve que (1/2)t^nfn(t)t^n (2)
Je dois ensuite en déduire que 0un1/(n+1)
J'y parviens mais d'une manière assez laborieuse, en utilisant : t^nt^n/(t+1)1/(t+1)1/(n+1) et (1/2)t^n0, avec la relation 2
Y a-t-il une manière plus simple d'y parvenir ?
Que puis-je ensuite en conclure ?
Bonjour,
On déduit de (2) que :
0 =< fn(t) =< t^n
En intégrant entre 0 et 1, on a immédiatement le résultat :
0 =< u(n) =< 1/(n+1)
Non ?
Ensuite, tu peux probablement en déduire la limite de la suite (u(n)), non ?
Nicolas
Oui je viens de remarquer ça après coup, merci =)
Par contre j'ai quelques difficultés avec la partie suivante... :S
Il m'est donné : pour tout t dans [0;1] : fn+1(t) = t^(n+1)/(1+t) et fn(t) = t^n/(1+t)
on remarque que t^(n+1) = t 
t^n d'où t^n + t^(n+1) = t^n (1+t)
Ainsi fn(t) + fn+1(t) = t^n
Je dois alors prouver que un + un+1 = 1/(n+1)
Je ne sais pas trop comment faire...
Merci d'avance pour votre aide 
Tu plaisantes ?
A nouveau, il suffit d'intégrer fn(t) + fn+1(t) = t^n entre 0 et 1, et tu as immédiatement le résultat.
Je dois ensuite calculer, d'après ce résultat, u1
Sachant que 01 t/(1+t)dt = 01 ( (t+1)/(t+1) - 1/(t+1) ) dt
Or je trouve u1 = 01 1/(t+1) dt et non t/(t+1) dt ...
:s
Donc j'obtiens u1 = 1 - [ln(t+1)] = 1 - ln2 +ln1 = 1 - ln2 sur [0;1]
Est-ce correct ?
D'après la relation un + un+1 = 1/(1+n) expliquer pour un 0 puis prouver finalement que pour tout n1 :
0un1/(n+1)
Bonjour,
Pour tout entier n1, on note fn la fonction définie sur l'intervalle [0;1] par fn(t) = t^n / t+1 .
(un) est la suite définié par un = 01 fn(t) dt
D'après fn(t) + fn+1(t) = t^n, je suis parvenue à démontrer que un + un+1 = 1/(n+1) [3]
Puis à calculer u1 = 1 - ln2
La question suivante est :
"Le calcul de un semble difficile. C'est pourquoi on utilise [3] pour encadrer un.
- Pourquoi un > 0 ?
- Prouvez que pour tout n 1 : 0 un1/(n+1) .
- Déduisez-en que (un) converge et précisez sa limite. "
Pour le dernier tiret, je pense qu'il faut utiliser le théorème d'encadrement et pour le second, il doit suffir de dire que puisque un + un+1 = 1/(n+1) alors un 1/(n+1), n'est-ce pas ?
Comment répondre au premier tiret ?
Merci d'avance !
*** message déplacé ***
Bonjour,
Un>0 pour tout n donc Un+1>0
Donc Un<Un+Un+1
Or Un+un+1=1/(n+1)
Donc Un<1/(n+1)
*** message déplacé ***
La suite Vn=1/(n+1) converge vers 0
Donc Un est encadrée par 2 suite qui converge vers 0
(la suite constante Wn=0 et la suite Vn=1/(n+1)) donc Un converge aussi vers 0
*** message déplacé ***
Ecuse moi, je croyais que ça tu l'avais reussi.
Entre 0 et 1 , fn(t)=tn/(t+1)>0
Donc l'integrale de fn(t) entre 0 et 1 est strictement positive.
*** message déplacé ***
Exact la fonction ne s'annule qu'en 0
alors tu peux ecrire =
+
Comme cela la 1ere integrale est 0 et la 2eme est >0 car entre 1/2 et 1 cette fois fn(t)>0
*** message déplacé ***
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