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Niveau Licence Maths 1e ann
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convergence uniforme et simple

Posté par
selcan 12-11-09 à 13:32

bonjour
j'ai un dm à rendre pour demain mais je n'arrive pas faire cette exrcice car nous n'avons pas fait des exercice sur les series de fonctions.Si quelqu'un pourrait m'aider à répondre aux questions 2,3, et 4 je serai très contente.
merci davance
et voici mon énoncé


Soit f(a) = exp(-a²n²) sous reserve de convergence (a R).
1. Rappeler les definitions de la convergence simple et de la convergence uniforme et expliquer
la difference entre ces deux notions.
2.Etudier la convergence simple et uniforme de f et deduire son domaine de definition.
3. Donner la limite de af(a) quand a 0 ?
4. Donner la limite de f(a) quand a?

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 12-11-09 à 14:28

Bonjour,

2/ Étudions la convergence simple :
Donc tu sais que f converge simplement sur I si et seulement si pour tout a dans I fixé, la série numérique 3$ \Bigsum_{n\geq 0} \exp(-a^2n^2) converge.

Donc étudier la converge simple de f revient à chercher pour quelles valeurs de a fixé dans R, la série numérique 3$ \Bigsum_{n\geq 0} \exp(-a^2n^2) converge ?

Ensuite on peut s'attaquer à la convergence uniforme.

Posté par
Camélia Correcteurre : convergence uniforme et simple 12-11-09 à 14:31

Bonjour

2) Pour a=0, on a e^{-a^2n^2}=1, donc la série diverge. Comme c'est pair en a, je ne m'occuppe que de ]0,+\infty[. je pose f_n(a)=e^{-n^2a^2}. Cette fonction est décroissante de 1 vers 0. Comme \sup_{a\in]0,+\infty[}f_n(a)=1 la série n'est pas uniformément convergente sur ]0,+\infty[. Soit b > 0. On a \sup_{a\in [b,+\infty[}f_n(a)=e^{-b^2n^2} et la série \sum e^{-b^2n^2} est convergente (par exemple, parce que majorée par 1/n^2 pour n assez grand.

On a donc convergence uniforme sur chaque intervalle de la forme [b,+\infty[

Conclusion: f est définie et continue (car continue sur chaque intervalle de la forme [b,+\infty[) sur R^*

C'est toujours un début... Là je n'ai pas trop le temps, je réfléchirai à la suite...

Tu peux regarder ici: Séries de fonctions

Posté par
selcanre : convergence uniforme et simple 12-11-09 à 15:48

merci beaucoup,

Posté par
selcanre : convergence uniforme et simple 12-11-09 à 18:35

bonsoir

pour calculer la limite de f(a)
peut on dire :comme exp(-a²n²) est decroissante et tend vers zéro.donc limite de la serie est egalé à la limite de l'iintegrale en +infini

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 12-11-09 à 18:47

Citation :
comme exp(-a²n²) est decroissante et tend vers zéro.donc limite de la serie est egalé à la limite de l'iintegrale en +infini


C'est un peu vague ton idée...mais c'est l'idée !

Pour trouver la limite de af(a) en 0, tu peux considérer la fonction g(t)=\exp(-a^2t^2) sur R+ et encadrer af(a) par deux intégrales en g qu'on sait calculer.

Posté par
selcanre : convergence uniforme et simple 12-11-09 à 21:49

on peut utiliser cette encadrement??

0<g(t)<1/t^2

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 12-11-09 à 23:05

Non, cet encadrement ne nous aidera pas beaucoup. Comme je te l'ai dit, ton idée est d'utiliser une comparaison série-intégrale était très bien. Il faut juste la détailler un peu : en fait pour obtenir la limite de af(a), on va encadrer af(a) par deux intégrales qu'on sait calculer et par le théoreme des "gendarmes" on pourra conclure.

Donc tu peux remarquer que la fonction que j'ai appelé g est continue positive et décroissante sur R+, et donc que pour tout t dans [n-1,n], g(n-1)>g(t)>g(n)>0 pour n1.

Bornons la série qu'on veut , c'est à dire g(n), par des intégrales de g:

Je te montre pour la majoration : tu peux utiliser la croissance de l'intégrale sur l'intervalle [n-1,n] à l'inégalité g(t)>g(n), puis sommer de n=0 jusqu'à N pour faire apparaitre des sommes partielles de f(a).

Pour la minoration, c'est kif kif.

Une fois que tu auras la majoration et la minoration de f(a), c'est à dire que tu auras quelques choses qui ressemble à :
3$ \Bigint g(t)dt + blabla \leq \Bigsum_{n=0}^{N} \exp(-a^2n^2) \leq \Bigint g(t)dt + blabla
reste plus qu'à faire tendre tout ca vers l'infinie et faire apparaitre af(a) dans l'inégalité.

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:09

Bonsoir, je ne comprends pas très bien cette comparaison avec l'intégrale. Je ne vois pas bien le raisonnement pour la majoration. Merci par avance.

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:12

Ok.

Alors, allons y pour la majoration.
La fonction g est continue positive et décroissante sur R+. Soit donc n un entier naturel strictement positif.
On a donc par décroissance de g, pour tout t dans [n-1,n] : 3$ g(n)\leq g(t)\leq g(n-1)

N'est ce pas ?

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:12

Tout à fait. Après on intègre entre n-1 et n ?

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:13

Oui, ce qui donne ?

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:15

\int_{n-1}^{n} g(n) dt \int_{n-1}^{n} g(t) dt   \int_{n-1}^{n} g(n-1) dt

soit :

g(n)\int_{n-1}^{n} dt \int_{n-1}^{n} g(t) dt    g(n-1)\int_{n-1}^{n} dt

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:16

Comme on ne s'interesse pour l'instant qu'à la majoration, on ne va conserver que l'inégalité de gauche.

On peut simplifier un peu tout ca !

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:19

Lol Merci. donc g(n)\int_{n-1}^{n}%20dt \int_{n-1}^{n}%20g(t)%20dt

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:20

3$ \Bigint_{n-1}^ndt = ?

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:20

g(n) \int_{n-1}^{n}%20g(t)%20dt

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:21

Oui c'est ca.
Maintenant qu'est ce qu'on peut faire pour faire peu à peu apparaitre notre série f(a) ?

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:24

Il faudrait pouvoir "transformer" l'intégrale qu'il reste en somme... Mais je ne vois pas trop là.

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:25

Regarde bien : on a g(n)=exp(-a2n2), et on voudrait faire apparaitre 3$ \Bigsum_{k\geq 0} \exp(-a^2n^2)

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:25

La somme est sur 'n' bien sur...

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:29

D'accord, j'avais inversé les rôle de n et de a.

\sum_{0}{\infty} g(n) = \sum_{0}{\infty} \sum_{0}{\infty}\int_0^{\infty} g(t) dt

Ensuite ?

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:30

Oula oula, n'allons pas trop vite non plus.
Donc on va sommer, pour l'instant on ne va pas aller jusqu'à l'infinie. On va se contenter des sommes partiels, histoire d'etre prudent.

Tu veux sommer de ou à ou ?

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:32

0 à n+1 pour arriver à n dans l'intégrale (où j'ai mis l'infini au lieu de n, n-1)

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:35

Déjà, il est interdit de sommer à partir de 0 puisque qu'on ne considere que des n>0.
Ensuite on ne peut pas jusqu'à n+1, la fin de la sommation doit etre indépendant de la variable sur laquelle on somme qui est n !

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:35

\sum_{n=0}^{n+1} g(n) <= \sum_{n=0}^n+1 \int_n^{n-1} g(t) dt

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:36

Ah d'accord. Désolé  Mais là je ne vois pas quoi prendre ..

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:37

Je te propose de sommer de 1 ( on peut puisque nos inégalités étaient définies pour tout n>0 ) à N>1.
Cela donne quoi ?

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:39

\sum_{n=1}^{N}%20g(n)%20%3C=%20\sum_{n=1}^N%20\int_n^{n-1}%20g(t)%20dt

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:39

Simplifions le membre de droite dans l'inégalité : ca a le bon gout de s'arranger grace aux relations de Chalses.
Ensuite, fait apparaitre la N-ieme somme partielle de f(a).

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:40

(Je me rends compte que j'ai inversé le sens de l'intégrale)

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:41

\sum_{n=1}^{N}%20g(n)%20%3C=%20\int_0^{N}%20g(t)%20dt

C'est vrai que c'est mieux.

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:43

-> Ensuite, fait apparaitre la N-ieme somme partielle de f(a).

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:44

Je ne vois pas trop ce que ça signifie en fait... Quel membre ?

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:45

La N-ieme somme partielle de la série, c'est la somme des N premiers termes.

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:48

\exp(-a^2)+\exp(-a^2 2^2)+...+ \exp(-a^2 N^2)<=\int_0^{N}%20g(t)%20dt

Ca ?

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:50

La tu ne fais que réécrire la somme que tu avais trouvé precedement.
En fait, le truc que je voulais te faire voir c'est que la série f(a) commence au rang n=0 et non pas n=1.
Il faut donc le faire apparaitre.

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:52

D'accord. \sum_{n=0}^{N-1}%20f(a)%20%3C=%20\int_0^{N}%20g(t)%20dt
C'est mieux ?

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:53

Je te propose plutot 3$ \Bigsum_{n=0}^N g(n) - g(0) \leq \Bigint_{0}^N g(t)dt

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:54

D'accord.

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:56

Tu peux voir que c'est plus simple. On a juste ajouter et retirer une constante qui nous arrange.
Donc ceci fournit la majoration de la N-ieme somme partielle de f(a).

Maintenant, de maniere identique, il nous faut la minoration.
Il faut reprendre tout ce qu'on vient de faire en changement juste un ou 2 trucs, tu vois ?

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:57

Oui je vois. Merci beaucoup. Mais là, comment se retrouver avec af(a) ?

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 00:59

Je fais la minoration ...

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 01:02

Ouai en fait, c'est un exercice assez difficile quand on ne l'a jamais et on ne comprend pas ou on va pour la suite.
Tu vas voir qu'une fois f(a) encadré tout se simplifie à merveille. En plus, c'est pas si compliqué ce qu'on fait

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 01:02

Donc tu modifies quoi pour la minoration ?

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 01:04

\int_0^{N} g(t) dt  <= \sum_{n=2}^{N} g(n) = \sum_{n=0}^{N} g(n)- g(0)-g(1)

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 01:04

\int_0^{N} g(t) dt<= \sum_{n=2}^{N} g(n) = \sum_{n=0}^{N} g(n)- g(0)-g(1)

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 01:05

C'est bon ?

Posté par
Dcamdre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 01:05

J'ai fait un petit changement d'indice pour avoir g(n)

Posté par
Narhmre : convergence uniforme et simple 13-11-09 à 01:05

Tu as pris quelle inégalité au départ et sur quel intervalle ? C'est le plus important en fait.

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